第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第六节(理)第三节(文)几何概型资料.ppt

一、几何概型 1．定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的________ (_______或_______)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为___________． 2．特点 (1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有________个； (2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布． 二、几何概型的概率公式 在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下： P(A)＝__________________________________________. 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)几何概型与古典概型的区别在于基本事件的个数是无限的．(　　) (2)几何概型定义中的区域指的是线段、平面图形、立体图形．(　　) (3)几何概型中的每一个基本事件就是从所给的区域内随机地取一个点，且该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　) (5)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．(　　) [答案] (1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)× 3．在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　) 5.(2014·福建高考)如图，在边长为1的正方形中 随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分， 据此估计阴影部分的面积为________． 1．(2014·湖南高考)在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(　　) 3．已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，过坐标原点随机地作一条直线l，则直线l与圆C不相交的概率为(　　) 1．求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)后求解． 2．当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段． 与面积有关的几何概型是高考的热点之一，从近几年的高考试题看，主要有以下几种类型． 题型一　与三角形、矩形、圆有关的问题 [典例1] (2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　) 题型二　与线性规划有关的问题 (理)题型三　与定积分有关的问题 [典例3] 如图，设D是图中边长为2的正方形区域，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域．向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为(　　) (文)题型三　与面积有关的综合问题 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的图形的形状，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解． [典例4] (1)(2015·郑州质检)在棱长为2a的正方体内部任取一点，该点在正方体内切球内部的概率为(　　) (2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________． 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求． [典例]　(1)在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM小于AC的概率为________． (2)如图在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与直线AB交于点M，则AM小于AC的概率为________． [思路点拨]　(1)判断题目是一个与长度有关的几何概型，利用公式求解． (2)判断题目是一个与角度有关的几何概型，利用公式求解． (1)点M随机地落在线段AB上，故线段 AB的长度为试验的全部结果所构成的 区域长度．在AB上截取AC′＝AC，当点M位于图中的线段AC′上(不包括点C′)时，AMAC，故线段AC′即为构成事件A的区域长度． [题后总结]　1.解决几何概型问题时，对“测度”的把握要准确，如(1)中点M在斜边AB上是等可能出现的，所以“测度”应该是长度，而不是角度．(2)中要特别注意“在∠ACB内部任作一条射线CM，与直线AB交于点M”这句话，由此确定“测度”是角度．如果把这句话改为“在线段AB上找一点M”，则问题的情境立刻发生改变，相应的“测度”应改为线段的长度． 2．背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的，这就要求我们求解几何概型问题时一定要根据题意弄清试验的基本事件是什么，且保证基本事件是等可能发生的． [针对训练] 1.如图所示，在直角坐标系内，