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第九讲 能量法 第一节 概述 预备知识：作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功 预备知识：作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功 预备知识：作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功 一、弹性应变能的一般公式 二、杆件的变形能计算 二、杆件的变形能计算 二、杆件的变形能计算 二、杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 二、 杆件的变形能计算 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第三节 功的互等定理及位移互等定理 第四节 卡氏第二定理 第四节 卡氏第二定理 第四节 卡氏第二定理 第四节 卡氏第二定理 第四节 卡氏第二定理 第四节 卡氏第二定理 第四节 卡氏第二定理 第六节 单位载荷法（莫尔定理） 第六节 单位载荷法（莫尔定理） 第六节 单位载荷法（莫尔定理） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第七节 图乘法（维利沙金法） 第四节 卡氏第二定理 结构因外力作用而存储的应变能： 力Fi有一个增量dFi ， 则应变能增量（功增量） 略去高阶小量 第一组力 第二组力 根据功互等定理： 若dFi 趋于0 卡氏第二定理(通常称卡氏定理): 线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆系上某一载荷的变化率等于该载荷相关的位移。 若将结构的应变能Vε表示为F1,F2,…Fi…的函数，则应变能对任一载荷Fi的偏导数等于Fi的作用点沿Fi方向的位移Δi. 2. 梁：横力弯曲 1. 桁架：各杆均受轴向力拉伸（压缩） 卡氏定理的具体应用： 用卡氏定理求结构某处位移时，该处需有与所求位移相应的载荷（力或力偶），若该处没有与此位移对应的载荷，则可采用附加力法。 3. 轴：扭转 即在该点沿位移方向虚设一个广义力F, 运用卡氏定理求广义位移，求出位移后令该附加力等于零。 例10-4 线弹性材料悬臂梁，自由端 A 作用有集中力，若F、l、EI 已知，求1）加力点A的位移DA2) 梁中点B的位移DB [解] 1、求加力点A的位移 弯矩方程： 2、求梁中点B的位移 在B点附加力F 弯矩方程: 实际B处并无力的作用，故F’=0 第六节 单位载荷法（莫尔定理） 求梁上C点在载荷F1, F2……Fi作用下的位移DC 假想在C点先作用单位力F0=1 F0单独作用时的应变能: M0(x) ?单位力作用下梁的弯矩方程 然后增加载荷F1, F2……Fi F1, F2……Fi作用时的应变能: M(x) ? F1, F2……Fi作用下梁的弯矩方程 梁总的应变能: 将单位力F0=1与F1, F2……Fi同时作用， 梁上的弯矩方程应为： 梁总的应变能: 两种情况下应变能相等: 这就是计算弯曲变形时的莫尔定理或单位载荷法。式中的积分称为莫尔积分。 将计算弯曲变形时的莫尔定理进行推广: 同时承受弯曲和扭转: 对于有m根杆的桁架，若在载荷作用下第i根杆的轴力FNi 在需要求两点的相对位移时，只需要在两点的联线方向上加一对方向相反的单位力，然后用莫尔定理计算，即可求得相对位移。 第七节 图乘法（维利沙金法） 莫尔积分： 若EI为常数，则只需计算 M(x), M0(x)如有一个是x的线性函数，可用图乘法简化积分计算 微面积对 M(x)轴的静矩 M(x)所围面积w对M(x)轴的静矩 利用图乘法时，要经常计算某些图形的面积和形心，教材表给出了几种常用的几何图形的面积及形