10.1.2简并态微扰论.ppt

10.1.2 简并态微扰论 实际问题中，特别是处理体系的激发态时，常常碰到简 并态或近似简并态.此时，非简并态微扰论是不适用的. 这里首先碰到的困难是：零级能量给定后，对应的零级 波函数并未确定，这是简并态微扰论首先要解决的问题. 体系能级的简并性与体系的对称性密切相关.当考虑微 扰之后，如体系的某种对称性受到破坏，则能级可能分 裂，简并将部分或全部解除.因而在简并态微扰中，充 分考虑体系的对称性及其破缺是至关重要的. 假如不考虑微扰时,体系处于某简并能级 ,即 (34) 与非简并态不同的是，此时零级波函数，尚不能完全确 定，但其一般形式必为 (35) 用式(34),(35)代入 (6b),得 左乘 ，取标积，考虑到式(5)的约定，得 (36) 此即零级波函数(35)中的展开系数 满足的非齐次线性 方程组.它有非平庸解的充要条件为 (37) 上式是 的 次幂方程(有些书上称为久期方程). 根据 的厄米性，方程(37)必然有 个实根，记为 ，分别把每一个根 代入方程 (36)，即 可求得相应的解，记为 ，于是得出新的零 级波函数 (38) 它相应的准确到一级微扰修正的能量为 (39) 如 个根 无重根，则原来的 重简并能级 将完 全解除简并，分裂为 条，所相应的波函数和能量本征 值又式（38）和（39）给出. 有部分重根， 则能级简并尚未完全解除.凡未完全解除简并的能量本 征值，相应的零级波函数仍是不确定的. 例3 氢原子的Stark效应. 将原子置于外电场中，则它发射的光谱线会发生分 裂，此即Stark效应.下面考虑氢原子光谱的Lyman线系 的第一条谱线 的 Stark分裂. 在不计及自旋时，氢原子基态 不简并，但第一 激发态 则是四重简并的，对应于能级 但如果 (40) 的4个零级波函数 为 (41) 为了方便，对它们进行编号，依次记为 . 设沿z轴方向加上均匀外电场 ,它对电子的作用能为 (42) 考虑到 （43） 仍保持为守恒量，再考虑到 ，所以微扰具 有如下选择定则： 具体计算微扰矩阵元时，可利用公式（附录A4,式(33)） 计算结果，不为零的矩阵元为 (44) 因此，方程(37)表示为 (45) 可以注意到,由于微扰的选择定则 ，氢原子的 第一激发态的四维态空间可分解成3个不变子空间 维数分别为2,1,1.方程(45)有非平庸解得充 要条件为系数行列式为0，解之得 (46) 对于根 ,方程(45)的解为 因此，归一化的新的零级波函数为 (47) 相应能量为 对于根 ,类似可求出 (48) 相应能量为 对于两重根 ，代入式(49),得 ，但 不能唯一确定.不妨仍取原来的零级波函数，即 与 ，亦即 (49) 这两条能级的简并尚未解除，对应能量都是 . 讨论 (a) 新的零级波函数的正交归一性.按式(36)，对于根 (实，k给定) (50) 取复共轭，注意 （厄米性），得 指标作变换，得 (51) 式(50)乘以 ，对 求和，式(51)乘以 ，对 求和，然后两式相减，得 (52) 对于不同的根 ，必有 (53) 按式（38），上式即 （54） 对于相同的根，我们取 联合 的正交归一性，得 (55) (b) 在以新的零级波函数 为基矢的 维空间中， （因而H）是对角化的.因为 (56) 此结论是意料中的事，因为简并微扰论的精神，第一步 就是在该简并能级的各简并态所张开的子空间中做一个 幺正变换，使 对角化. 对 ，上式给出 (57) 即能级一级修正，是微扰 在新的零级波函数下的 平均值. (c) 如最初的零级波函数选的适当，已使 对角化 (58) 则式(36)的解就是 (59) 对应的零级波函数就是 这在处理正常Zeeman效应 (6.2节)和反常Zeeman效应(8.3.2节)中都已用到.简并微 扰论中，零级波函数的选择是至关重要的，应充分利用 体系的对称性.特别是，尽量选择零级波函数同时又是 某些守恒量（与 和 都对易） 的本征态（即用一些好 量子数来标记零级波函数）,则计算将大为简化（可以 把表象空间约化为若干个不变子空间,分别在各子空间 中把 对角化） (d) 近简并情况.设 的本征能级中，有一些能级(即 使本身都不简并)彼此很靠近,则10.1节所讲的非简并态 微扰论是不适用的.用上面所讲的简并态微扰论也不能 令人满意,因为在此情况下，微扰有可能把这些紧邻的 几条能级上的态强烈混合.此时，更好的做法是首先在 这些紧邻能级所有的状态所张开的子空间中把 对角化 即把这些紧邻的所有能级(本身既可以是非简并态,也可 以是简并态)一视同仁，首先加以考虑. 例4 二能级体