一、格林公式.PDF

一、格林公式 单连通与复连通区域 设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D, 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D 的边界曲线L行走时, 如果左手在区域 D 内, 则行走方向是L 的正向. 单连通区域 复连通区域 定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数P(x , y )及Q(x , y ) 在D上具有一阶连续偏导数, 则有 ∂Q ∂P ∫∫( − )dxdy ∫ Pdx +Qdy , ——格林公式 ∂x ∂y L D 其中L 是D 的取正向的边界曲线. 应注意的问题: 对复连通区域D, 格林公式右端应包括 沿区域D 的全部边界的曲线积分, 且边界的 方向对区域D来说都是正向. ∂Q ∂P 格林公式: ∫∫( − )dxdy ∫ Pdx +Qdy . ∂x ∂y L D 用格林公式计算区域的面积 设区域D 的边界曲线为L , 则 1 A ∫ xdy − ydx . 2 L 提示: 在格林公式中, 令P=−y , Q x , 则有 ∫ −ydx +xdy 2∫∫dxdy , 或A ∫∫dxdy 1∫ xdy − ydx . L 2 L D D ∂Q ∂P 格林公式: ∫∫( − )dxdy ∫ Pdx +Qdy . ∂x ∂y L D 用格林公式计算区域的面积 设区域D 的边界曲线为L , 则 1 A ∫ xdy − ydx . 2 L 例1 求椭圆x acosθ, y bsinθ 所围成图形的面积A . 解 设L 是由椭圆曲线, 则 1 1 2π 2 2 A ∫ xdy − ydx ∫ (absin θ + abcos θ )dθ 2 L 2 0 1 2π ab∫ dθ abπ . 2 0 ∂Q ∂P 格林公式: ∫∫( − )dxdy ∫ Pdx +Qdy . ∂x