我们考察数域P上全体mn矩阵的集合Mn,n(P)和数域P上全体.ppt

我们考察数域P上全体m×n矩阵的集合Mn,n(P)和数域P上全体n维向量集合（即n维向量空间）Pn, 可以看出，这两个集合中元素的加法与数域P中数与集合元素之间的数量乘 法都有十分相似的运算性质.如果它们抽象出来，就得出一般线性空间的概念. § 7.1 线性空间的概念 定义7.1 设V为一个非空集合,P是一个数域.假若V上定义了一个代数运算(通常叫加法):对V中任意两个元素a, 定的法则,都有唯一确定的元素r与它们对应,称r为a与 的和,记 r=a+ ; 又定义了P中数与V中元素的一种代数运算(通常叫数量乘法):对任意k∈P,a∈V,按照某种固定的法则,都有V中唯一确定的元素 与它们对应,称为k与a的数量乘积, 记 并且,这两种代数运算都满足下列运算规律: 有 (1)加法交换律: (2)加法结合律: 对任意 ,按某种固 =ka. (3) 零元素:在V中存在一个元素(记作0),使对任意a∈V有a+0=a; (4) 负元素:对任意a∈V,都存在一个依赖于a的元素(通常叫做a的负元素),记为-a,使a+(-a)=0; (5) 1a=a; (6) k(la)=(kl)a; (7) (k+l)a=ka+la; (8) 则称集合V连同上面的两种代数运算构成一个数域P上的线性空间,记为V/P或(V/P,+,˙)或(V,+, ˙)或简记为V.特别地,当P为实数域时,称V为实线性空间;当P为复数域时,称V为复线性空间. 习惯上,我们把数域P上的线性空间V中的元素也称为向量,用小写希腊字母 字母a,b,c,…表示。 例1 设V= 加法为a+a=a;对任意k∈P,规定ka=a.则V构成数域P上线性空间，称为零空间，记成V= 例2 n维向量空间Pn对向量加法、数量乘法构成一个线性空间.特别地,Rn对向量加法、数量乘法构成一个实线性空间. 表示，而把数域P中的数用小写英文 只含有一个元素，P为数域，规定V中 或V=0. 例3 数域P上全体m×n矩阵的集合Mm,n(P)对矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间，称为矩阵空间，记为Mm,n(P) （或Pm×n).如果m=n，通常把Mm,n(P)简写为Mn(P),它是由数域P上全体n级矩阵的集合对矩阵的加法、数量乘法构成的线性空间. 例4 设P为数域，取集合V=P，并规定V中加法就是数域P中的加法，P与V之间的数量乘法就是数域P中的乘法.则V=P构成数域P上的线性空间. 例5 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数的集合对函数的加法和数量乘法构成实线性空间，记为C[a,b]. 例6 设R+为全体正实数的集合.规定R+中加法为a?b=ab，?a,b∈R+，实数域R与R+之间的数量乘法为k。a=ak, ?k∈R, a∈R+,则R+构成一个实线性空间. 证明 对任意a，b∈R+，k∈R,有a?b=ab∈R+,k?a=ak∈R+,所以R+对上述定义的加法和数量乘法是封闭的，且a,b,c∈R+, k,l∈R,有： (1) a?b=b?a; (2) ( a?b) ?c=a?(b?c); (3) R+中零元素1，使1?a=a?1=a; (4) 对任意a∈R+，有负元素 ，使 (5) 1?a=a1=a; (6 ) k?(l?a)=k?(al)=(al)k=akl=(kl) ?a; (7) (k+l) ?a=ak+l=akal=ak?al=(k?a) ?(l?a); (8) k?(a?b)=k?(ab)=(ab)k=akbk=ak?bk=(k?a) ?(k?b), 所以R+构成一个实线性空间. 例8 设A为数域P上的m×n矩阵，V为齐次线性方程组AX=0的全部解的集合，则V为n维列向量空间Pn的一个子集合，且V对Pn中向量加法和数量乘法构成数域P 的线性空间。这就是前面我们所提到的解空间的概念。 （思考题：如果把齐次线性方程组换成非齐次线性方程组，其全部解的集合，如果非空的话，是否有可能构成一个线性空间？） 因此，不论是几何中的向量，微积分中的函数，还是矩阵，都可以抽象地作为我们线性空间中的元素（向量）。我们把它们的加法、数乘运算抽象成一般线性空间中的加法、数乘运算，去研究其共性，掌握一般规律。 数域P上的线性空间V具有下列性质： （1）线性空间V中的零元素是唯一的（因此我们可以把零元素用0表示）； （2）线性空间V中的任意元素a的负元素-a由a唯一确定； （3）(-1)a=-a （4）ka=0当且仅当k=0或a=0 证明 我们