§12抛物线.PDF

§1−2 拋物線 (甲 )拋物線的定義與基本性質 (1)定義： 設平面上有一定直線L 、定點F ，其中F不在L上 ，則在平面上到直線的距離等於 到定點F的所有動點P形成的圖形稱為拋物線 。 P M L P1 F V A P2 (2)拋物線的名詞介紹： (a)直線 L稱為準線 ，F點稱為焦點 。 (b)過焦點垂直準線的直線M稱為 對稱軸(簡稱軸) (c)對稱軸與拋物線的交點V稱為頂點 ，VF稱為焦距 。 (d)拋物線上兩點的連線段稱為弦 ，過焦點的弦稱為焦弦 。 ⎯ 垂直對稱軸的焦弦 P P 稱為 正焦弦 。 1 2 [討論 ] ： P1 如何說明過焦點垂直準線的直線M為拋物線的對稱軸？ Q1 [說明 ] ： 設P 是拋物線上的點 (P ≠V) ，P 是P 對直線M的對稱點， 1 1 2 1 P 、P 分別對準線L作垂線，垂足分別為 Q 、Q 1 2 1 2 V F ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ 因為P F=P F 且P F=P Q =P Q ,故 P F=P Q 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 因此P2在拋物線上。 Q2 P2 (3)拋物線的基本性質： ~1−2−1~ ⎯ (a)設對稱軸與準線的交點為 A ，則頂點V 為AF的中點。 ⎯ ⎯ [說明 ] ：因為V 為拋物線上的點，VF=d(V,L)=AV ，所以V 為 AF 的中點。 (b)拋物線的正焦弦長為焦距的 4 倍。 ⎯ ⎯ [說明 ] ：因為P P =2P F ，且P F=d(P ,L)=AF=2 ⋅VF 所以正焦弦長P P =4 ⋅VF 。 1 2 1 1 1 1 2 [例題1] (拋物線的作圖) 設拋物線Γ以 L 為準線，F 為焦點，在 L 上任取一點 Q ，過點Q 作直線 L 的 ⎯ 垂線 N ，再作 QF 的中垂線交直線 N 於 P ，請證明 P 點在拋物線Γ上 ，並藉此 說明拋物線沒有界限。