幂级数及其收敛性幂级数的运算.PDF

幂级数 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 1 一、幂级数及其收敛性 一般项为幂函数 a ( x −x )n 的函数项级数 n 0 称为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级数在级数理论中有着特殊的地位, 在函 数逼近和近似计算中有重要应用, 特别是函 数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有 力的工具. 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 2 ∞ a ( x x ) − n 1.定义: 形如∑ n 0 的级数称为幂级数. n 0 ∞ 当0 , 时x , a x n 其中a 为幂级数系数. 0 ∑ n n n 0 2.收敛性: ∞ 例如级数x +x +x n +1 2 , ∑ n 0 当 1 时, x ; 收敛当 1 时, x ≥; 发散 收敛域( 1,1);− ( , 1] 发散域[1, );−∞∪− ∞ + 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系马儒宁 3 定理1 (Abel 定理) ∞ 如果级数 a x n 在 处收敛,则 ∑ n (x x0)x ≠ 0 0 n 0 它在满足不等式 的一切 处绝对收敛; x x x 0 ∞ n 如果级数 a x 在x x 处发散,则它在满足 ∑ n 0 n 0 不等式 的一切 处发散. x x x 0 2007年8月 南京航空航天大学理学院数学系马儒宁