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用向量内积与
數學傳播 36 卷 2 期, pp. 70-76
利用向量內積與外積求反矩陣
李瑞 鄭金樹 洪瑞英 吳汀菱
前言:
給定一個二階方陣或三階方陣 A, 要如何求得其乘法反矩陣 A−1 呢?
高中數學課程中, 現行課本中的方法, 一般皆是設出此反矩陣的每一元素, 列出滿足 AA−1
= I 的一次方程 , 再使用克拉瑪公式解之, 以一般高中生的計算能力來看, 這個代數方法的
過程在矩陣 A 為二階方陣時, 並不費事, 但對三階方陣來說, 就有些繁複了。
其實, 若從向量與幾何的角度, 利用向量的內積與外積來求反矩陣, 在解釋三階方陣的反
矩陣求法時, 或許會更簡潔也更有數學的興味喔, 以下我們來說明!
預備知識:
1. 二矩陣的乘積可視為二矩陣對應向量的內積, 如 A = [aij ]m ×n , B = [bij ]n ×p , 則 C =
AB = [c ] , 其中矩陣 A 的第 i 列向量為 a = (a , a , . . . , a ) 矩陣 B 的第 j
ij m ×p i i1 i2 in
b1j
b n
∑
2j
行向量為 b = , 其中 c = a b = a b + a b + + a b = a b 。
j . ij i j i1 1j i2 2j in nj ik kj
.
. k=1
bnj
2. 設 a、 b 為空間中兩個不平行的非零向量, 則 (a b) a 且 (a b) b。
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3. 設 a = (a , a , a ), b = (b , b , b ), c = (c , c , c ), 則
1 2 3 1 2 3 1 2 3
a a a
1 2 3
b2 b3 b1 b3 b1 b2
∆ = = a a + a
1 b1 b2 b3 1 2 3
c c c c c c
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