2016新课标三维人教A版数学选修2-3 2.4 正态分布.docVIP

　正态分布 预习课本P70～74，思考并完成以下问题 1．什么是正态曲线和正态分布？ 2．正态曲线有什么特点？ 　 3．正态曲线φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义是什么？ 　 　 　　　　[新知初探] 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数φμ，σ(x)＝1\r(2π)σe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的特点： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值1σ\r(2π)； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示． [点睛]　正态曲线φμ，σ(x)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E(X)去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差DX去估计． 2．正态分布 (1)如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝abφμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布． (2)正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σX≤μ＋σ)＝0．682_6； (2)P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0．954_4； (3)P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0．997_4． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．若ξ～N\a\vs4\al\co1(1，\f(14))，η＝6ξ，则E(η)等于(　　) A．1　　　　　B．32　　　　　C．6　　　　　D．36 答案：C 3．设随机变量ξ～N(μ，σ2), 且P(ξ≤c)＝P(ξ＞c), 则c等于(　　) A．0 B．σ C．－μ D．μ 答案：D 正态曲线及其性质 [典例]　某次我市高三教学质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同 [解析]　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙． 故选A． [答案]　A 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ． (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值1σ\r(2π)，由此性质结合图象可求σ． (3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．　　　　　　 [活学活用] 若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14\r(2π)，求该正态分布的概率密度函数的解析式． 解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是14\r(2π)，所以1\r(2π)·σ＝14\r(2π)， 解得σ＝4． 故函数的解析式为φμ，σ(x)＝14\r(2π)·e－x232，x∈(－∞，＋∞)． 利用正态分布的对称性求概率 [典例]　设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)． [解]　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2． (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0．682 6． (2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3X≤－1)， 所以P(3＜X≤5)＝12[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)] ＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] ＝12(0．954 4－0．682 6)＝0．135 9． 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σX≤μ＋σ)，P(μ－2σX≤μ＋2σ), P(μ－3σX≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值