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必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3 线面平行的性质定理 a b c 思考：如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这平面内的所有直线都平行？ 怎样作平行线？ 试用文字语言将上述原理表述成一个命题. 思考： 教室内日光灯管所在直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？ 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 探研新知 已知：如图，a∥α，a?ìβ，α∩β＝b。 求证：a∥b。 证明：∵α∩β＝b，∴bìα 　　　∵?a∥α，∴a与b无公共点， ∵aìβ，bìβ，∴a∥b。 我们可以把这个结论作定理来用. ? b a ? 简述：线面平行，则线线平行 判定直线与直线平行的重要依据。 图形 作用： 符号语言: α β a b 关键： 寻找平面与平面的交线。 定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行的性质定理 1.如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ ） A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。 D 2.判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由，若不正确，请给出反例. (1)如果a、b是两条直线，且a∥b,那么a 平行于经过b的任何平面；( ) （2）如果直线a、b和平面α 满足a ∥ α, b ∥ α,那么a ∥ b ;( ) (3)如果直线a、b和平面α 满足a ∥ b,a ∥ α,b α, 那么 b ∥ α;( ) (4)过平面外一点和这个平面平行的直线只有一条.( ) 例3：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′?内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？ 解：（1）过点P作EF∥B’C’，分别交棱A’B’，C’D’于点E，F。连接BE，CF，则 EF，BE，CF就是应画的线。 P A1 D A B B1 D1 C1 C E F 定理的应用 例题示范 例3：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′C′D′?内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线和面AC有什么关系？ （2）因为棱BC平行于平面AC，平面BC与平面AC交于BC，所以BC∥BC，由（1）知，EF∥BC，所以，EF∥BC，因此，EF//BC, EF?平面AC,BCì平面AC.所以,EF//平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交。 例4：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。 第一步:将原题改写成数学符号语言 如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α. 第二步:分析：怎样进行平行的转化？→如何作辅助平面？ 第三步:书写证明过程 定理的应用 例4 如图,已知直线a,b,平面α,且a//b,a//α,a,b都在平面α外.求证:b//α. 证明:过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c. 因为a//α,a?ìβ,α??β=c,所以?a//?c.? 因为a//b,所以,b//c. 又因为c?ìα,?b??α, 所以?b//?α。 定理的应用 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， 而AD?平面PAD， ∴BC∥平面PAD. 又∵过BC的平面FEBC与平面PAD 的交线为EF， ∴BC∥EF，显然EF≠BC， ∴四边形BCFE是梯形． 证明： 2、已知：如图，AB//平面 ，AC//BD,且AC、BD与 分别相 交于点C, D. 求证：AC=BD 巩固练习: 3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH 的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G， 求证：FG∥平面ADD1A1. 巩固练习: 证明：　因为EH∥A1D1，EH?平面BCC1B1， FG?平面BCC1B1， 所以EH∥平面BCC1B1， 又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG， 所以EH∥FG， 即FG∥EH∥A1D1， 又FG?平面ADD1A1，A1D1?平面ADD1A1， 所以FG∥平面ADD1A1. 巩固练习: 4、 证明: 证法2 利用相似三角形对应边成比例 及平行线分线段成比例的性质 ∽ ∽ （略写） 必修2 第二章 点、直线、平面