计算方法的牛顿法资料.ppt

数值分析非线性方程的牛顿法 (Newton Method of Nonlinear Equations ) 内容提纲（Outline) 牛顿法及其几何意义 收敛性及其收敛速度 计算实例及其程序演示 取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开: 重复上述过程 ? 作为第一次近似值 一、牛顿法及其几何意义 Newton 迭代公式 基本思路：将非线性方程f(x)=0 线性化 牛顿法的几何意义 x y x* x0 x 1 x 2 牛顿法也称为切线法 （局部收敛性定理） 设 f (x)?C2[a, b]，若 x* 为 f (x) 在[a, b]上的根,且 f ?(x*) ? 0，则存在 x* 的邻域 使得任取初始值 ，Newton 法产生的序列{ xk } 收敛到 x*，且满足 至少平方收敛 二、牛顿法的收敛性与收敛速度 在x*的附近收敛 由Taylor 展开： 令k?? ，由 f ?(x*) ? 0，即可得结论。 证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法 思考题1 若　　　 ，Newton法是否仍收敛？ 设 x* 是 f 的 m 重根，则令： 且 Answer1: 有局部收敛性 Answer2: 线性收敛 思考题2 当x* 是 f (x)=0的m重根, 是否平方收敛？ 结论：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 ? 有根 根唯一 全局收敛性定理(定理3.3.1)：设 f (x)?C2[a, b]，若 f (a) f (b) 0； 在整个[a, b]上 f ?(x) ? 0； f ??(x)在 [a, b]上不变号 选取初始值x0 ? [a, b] 使得 f ??(x0) f (x0) 0； 则由Newton法产生的序列{ xk } 单调地收敛到 f (x)=0 在 [a, b] 的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的 保证产生的序列{xk}单调有界 保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身 将f(x*)在 xk 处作Taylor展开 对迭代公式两边取极限，得 证明：以 为例证明 说明数列{xk}有下界 故{xk}单调递减, 从而{xk}收敛.令 ？ 三、计算实例及其程序演示 辅助工具: VC程序设计语言 Matlab数学软件 (1) 选定初值x0 ,计算f (x0) , f ?(x0) 计算步骤 (2) 按公式 迭代 得新的近似值xk+1 (3) 对于给定的允许精度?，如果 则终止迭代，取 ;否则k=k+1，再转 步骤(2)计算 允许精度 最大迭代次数 迭代信息 例题1 用Newton法求方程 的根,要求 迭代格式一： 迭代格式二： 取初值x0＝0.0,计算如下： 对迭代格式一: the iterative number is 27, the numerical solution is 0.442852706 对迭代格式二: the iterative number is 3, the numerical solution is 0.442854401 例题2 求函数 的正实根 精度要求： 从图形中我们可以看出： 在x=7和x=8 之间有一单根； 在x=1和x=2 之间有一重根。 用Matlab画图，查看根的分布情形 初值x0＝8.0 时,计算的是单根, The iterative number is 28,The numerical solution is 7.600001481 初值x0＝1.0 ,计算的是重根, The iterative number is 1356,The numerical solution is 1.198631981 取初值x0＝8.0,用牛顿迭代公式计算如下： 取初值x0＝1.0,用牛顿迭代公式计算如下： 小结 (1) 当f (x)充分光滑且 x* 是f (x) =0的单根时，牛顿法在x*的附近至少是平方收敛的。 (2) 当f (x)充分光滑且 x* 是f (x) =0的重根时，牛顿法在x*的附近是线性收敛的。 (3) Newton法在区间[a,b]上的收敛性依赖于初值x0 的选取。 练习： 3. Newton 迭代法是如何推出的? 它若在单根附近收敛,是几阶收敛?在重根附近是几阶收敛？求方程重根时,能达到2阶收敛的改进 Newton 迭代公式是