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第2章 非线性方程求解 西南交通大学信息科学与技术学院 戴克俭制作 第2章 非线性方程求解 §2.1 二分法 §2.1 二分法 §2.1 二分法 §2.1 二分法 §2.1 二分法 §2.1 二分法 §2.1 二分法 §2.1 二分法 §2.1 二分法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 计算结果生成数列： §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 反之，若在根x*的邻域R内，有： |φ?(x)|≥1 (2-8) 则迭代必发散。 §2.2 迭代法 其中： §2.2 迭代法 流程图 如下： §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 可望得到精度更高的x*的近似值。于是得到如下迭代 §2.2 迭代法 埃特金加速法的流程图如下： §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 §2.2 迭代法 第2章第1次作业 习题2 P47 1（1）、（6）、6、8 作业 课后作业：P48 2、5、7、11、12 上机实验 作业 §2.4 解非线性方程组的牛顿法 设(x*, y*)为非线性方程组： (2-18) 的解，已知(x0, y0)为其近似解(简记为P0)，将函数u, v在P0点附近用一阶Taylor多项式近似表示： §2.4 解非线性方程组的牛顿法 在P0附近非线性方程组(2-18)可用下述线性方程组近似代替： (2-19) 若以方程组(2-19)的解(x1, y1)作为原方程组的新近似解，反复采用以上过程，可得方程组的一近似解序列(xk, yk) (k= 0, 1, …）。 §2.4 解非线性方程组的牛顿法 (xk, yk)(简记为Pk)的计算可采用如下迭代格式： (2-20) 令 §2.4 解非线性方程组的牛顿法 当max{E1, E2} ? (容许误差)时，停止迭代，并取(xk+1, yk+1)作为非线性方程组之解。 式(2-20)称为解非线性方程组(2-18)的牛顿迭代公式。若用矩阵形式表示迭代过程，令： §2.4 解非线性方程组的牛顿法 则式(2-20)等价于： (2-21) 其中 称为雅可比矩阵。 例9 用牛顿法求下述方程组在P0=(1,1)附近的解 §2.5 劈因子法 对n 次实系数代数方程 (2-21) 由代数学可知，f (x)= 0有n 个根，其中可能有实根，也可能有成对出现的共轭复根。下面介绍一种既可求其实根，又可求其复根的方法，即劈因子法。 劈因子法的基本思路是先给出一个初始二次式