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Langrange插值优缺点： （1）优点：简单，对称 （2）不足：无继承性 为了提高精度有时需增加结点,但这时原来求的 全改变,即所有的基函数都要重新计算，原来的数据不能利用，浪费资源。 Thank you! * 提纲 插值的基本概念 拉格朗日插值 插值余项 分段插值 定理 设 f(x)在[a,b]上具有n阶连续导数, 且 f (n+1)(x) 存在,节点a ≤ x0 x1…xn≤b， Ln (x)是满足条件Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,…,n)的插值多项式，则对任何x ∈ [a,b]，插值余项 插值余项 定义 若在[a,b]上用Ln (x)近似f(x)，则其截断误差 Rn (x)＝f(x)- Ln (x) 称插值多项式的余项。 其中 证明： 因为 设 其中 根据Rolle定理, 再由Rolle定理, 依此类推， 由于 因此 所以 注：余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能使用，ξ通常不能具体给出，可求出 故Ln(x)逼近f(x)的截断误差限是 当 f(x) 是n次的多项式时, Ln(x)= f(x)。即n次多项式的n次插值函数即为该n次多项式本身。 说明： n=1时， n=2时， 例: 解: 的抛物插值多项式,且计算f (3)的近似值并估计误差。 例2 设 解 插值多项式为 因为 故 于是 用二次插值计算ln11.25的近似值,并估计误差. 例3 给定函数表 x 10 11 12 13 lnx 2.302585 2.397895 2.484907 2.564949 解 取节点x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有 ln11.25?L2(11.25) 在区间[10,12]上lnx 的三阶导数的上限M3=0.002, 可得误差估计式 实际上,ln11.25=2.420368, |R2(11.25)|=0.000058. 事后误差估计 一般直接应用余项公式来估计误差是困难的，常采用一种事后估计法。 设x0xx1x2,且f(xi)(i=0,1,2)已知，若将用x0,x1两点作线性插值所求得y的近似值记为y1，将用x0,x2两点作线性插值所求得y的近似值记为y2，则由余项公式知： 得： 假设 这表明可以通过两个结果的偏差y2-y1来估计插值误差y-y1。这种直接利用计算结果来估计误差的方法，称为事后估计法。 事后估计法算例分析 为节点,求得近似值为: 用 为节点,求得近似值为: 按照估计式有 用 用 用 例：求 的近似值。 提纲 插值的基本概念 拉格朗日插值 插值余项 分段插值 分段插值 高次插值的病态性质： 对于一个确定的区间，如果插值节点之间的距离较小，自然插值节点就增多，如果用一个多项式插值，自然次数就会升高，也就是说要用高次多项式插值。 但是否次数越高，插值多项式的逼近效果越好呢？ 20世纪初，Runge就给出了一个等距节点插值多项式不收敛的例子。 Runge反例: (-5≤x≤5) 它在[-5,5]上各阶导数均存在，在该区间上取n+1个等距节点： 构造拉格朗日插值多项式为： n 2 0.137931 0.759615 -0.621684 4 0.066390 -0.356826 0.423216 6 0.054463 0.607879 -0.553416 8 0.049651 -0.831017 0.880668 10 0.047059 1.578721 -1.531662 12 0.045440 -2.755000 2.800440 14 0.044334 5.332743 -5.288409 16 0.043530 -10.173867 10.217397 18 0.042920 20.123671 -20.080751 20 0.042440 -39.952449 39.994889 下表列出了n=2,4,…,20的Ln(xn-1/2)和R(xn-1/2)的值： 取xk=-5+k 计算: f(xk) (k=0,1,…,10) 构造L10(x). 取:tk=-5+0.05k (k=0,1,…,200),计算: L10(tk) L10(t) f(t) f(x) 一、分段线性Lagrange插值 构造Lagrange线性插值 1. 分段线性插值的构造 设插值节点为xi，函数值为yi，i=0,1,2,……,n hi=xi+1-xi，i=0,1,2,……,n-1， 任取两个相邻的节点xk，xk+1，形成一个插值区间[xk，xk+1], k=0,1,2,…,n-1 显然 我们称由上