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计算方法第三讲资料
第二章 解线性代数方程组的直接法 第三讲 Gauss 消去法 不考虑舍入误差,通过有限四则运算进行求解,这就是所谓直接法。 3.1 高斯( Gauss )消去法 第一步消元:不妨设a11 ?0,记 li1= ai1 / a11 ,用 –li1 乘第一个方程加到第i个方程上去, 如此继续下去,第k-1步可将方程转化为 按上述消元手续做n-1步后,原方程组即可加工成上三角方程组的形式 第二步,回代 即是利用回代求解经过消元手续最终得到的方程组,其回代公式为: 消去法计算量的估计: 消去法中第k步的乘除法计算量为(n-k)(n-k+2) 加减法计算量为(n-k)(n-k+1) 做完n-1步后总计算量: 乘除法: 加减法: 回代过程计算量: 乘除法计算量 加减法计算量 总计算量为: 乘除法计算量 加减法计算量 消去过程算法如下: for k=1,n-1 for i=k+1,n C=A(i,k)/A(k,k) for j=k+1,n+1 A(i,j)= A(i,j)-C*A(k,j) end end end 3.2 Jordan 消去法 3.3 选主元的高斯消去法 称 为消去法第k步计算的主元,当 绝对值很小时,会导致误差增加,从而引起算法不稳定。 因此,在消去法中,我们需要引入选主元法。即每次消元时,从该列中选取系数绝对值最大者作为主元进行消元,称为列主元消去法。 一类特殊的矩阵(对角占有矩阵,对称正定阵)在Gauss消去的意义下,不改变其性质,不必选主元。 可以证明,全主元的Gauss消去法对于非奇异矩阵是稳定的。 3.4 高斯消去法的矩阵形式 消去法消元过程可以通过对下面增广矩阵作初等变换来实现。 设 , 记 则消去法相当于 记 则 我们记 于是可得矩阵A的如下分解 这称为矩阵A的LR分解 LR分解应用于解方程组: * Gauss 消去法 三角分解法 矩阵求逆 舍入误差对解的影响 3.1 Gauss 消去法 3.3 列主元的Gauss 消去法 3.2 Jordan 消去法 3.4 LU分解法 方程类型: n个方程,n个未知量 |A|≠0 方法1. Gramer 法则, 运算量为 ,完美但不现实。 方法2. Gauss 消去法,它的发现可疑追溯2BC的中国,该算法以其高效性为诸多计算机系统广泛使用。 引例: 注:Gauss 消元法包括两个主要步骤: 消去(一般方程组 上三角形式的方程组) 回代,即求上三角形是方程组的解。 消元步骤的实质是用初等变换作用于系数矩阵A的增广矩阵 上,将 化为上三角形式矩阵,即 回代过程算法如下: x(n)=A(n,n+1)/A(n,n) for k=n-1,1 for j=k+1,n A(k,n+1)= A(k,n+1)-A(k,j)*x(j) end x(k)=A(k,n+1)/A(k,k) end Jordan 消去法包含n+1步,其第k步为: 若 ,则 其第n+1步为: 其复杂度为 n=25时,Gauss 消去法计算乘除共 Jordan消去法计算乘除共 注:Gauss 法要优于Jordan 法 全主元的Gauss消去法 *
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