计算方法第八章(常微分方程数值解)资料.ppt

第八章 常微分方程初值问题数值解法 本章主要研究常微分方程初值问题的数值求解： 通常，假设函数 f 关于第二个变量满足李普希茨条件（L条 件），即为存在常数 L 0，使得 第一节 一般概念 1.1 欧拉法及其简单改进 例子： 步长为0.1的计算结果。 步长为0.01的计算结果 0.01 0.99005 0.99 0.1 0.90484 0.90438 0.2 0.81873 0.81791 0.3 0.74082 0.7397 0.4 0.67032 0.66897 0.41 0.66365 0.66228 0.59 0.55433 0.55268 0.6 0.54881 0.54716 0.9 0.40657 0.40473 0.91 0.40252 0.40068 0.99 0.37158 0.36973 1 0.36788 0.36603 DOUBLE PRECISION h,y(0：100) OPEN(20,FILE=OUTPUT.DAT,STATUS=UNKNOWN) h=1.0/100 y(0)=1.0 do 10 i=1,100 y(i)=y(i-1)*(1.0-h) write(20,*) i*h,y(i) 10 continue END 我们可得精度更高的欧拉公式： 利用中点公式求解微分方程时，有一个问题，就是计算时需要两个迭代初值！这样的算法称为二步法。前面的欧拉法称为单步法。 对于这个问题，我们可以先用欧拉公式，通过给定的初值计算出 的值，然后再利用这两个值（ y0 和 y1 ）进行计算，直到计算出全部节点上的值。 1.2 欧拉方法的其他改进 微分方程数值解的关键在于对导数的处理，可以用差分来近似 导数，也可以通过积分，将导数项化掉。 对于方程： 首先，作出划分 设已经求出第 n 个节点的函数值 ，在区间 上对方程两边积分 容易看出，要求第 n+1 个节点的函数值，关键在于选择适当的积分公式计算积分！ （1）如选择下矩形公式，则得 这正是前面的欧拉公式。 直接利用已经求得的已知节点上的值计算未知节点上的函数值的算法称为显式法。 例如：欧拉公式、欧拉中点公式 计算未知节点上的函数值时，用到了未知节点上的函数值，这种算法称为隐式法。 例如：后退欧拉法、欧拉梯形公式 显然，利用隐式法求微分方程的数值解是，需要从表达式中反解未知节点上的函数值。 1.3 隐式法的具体计算： 例如欧拉梯形公式 用迭代法计算 yn+1 的值。 （1）简单迭代 收敛的条件： （2）牛顿迭代 若用简单迭代，而且只迭代一步，这样组成的一组计算公式称为预测－－校正公式。（迭代初值 称为预测，迭代步称为校正） 预测－校正公式也称为改进的欧拉法，将上面的组合公式改写为： 注意到 ，将上式进一步改写为： 这是我们最终使用的计算格式。 例子： 取步长为0.1计算，结果如图。 图： DOUBLE PRECISION h,y(0:10),ak1,ak2 OPEN(20,FILE=OUTPUT1.DAT,STATUS=UNKNOWN) h=1.0/10 y(0)=1.0 do 10 i=1,10 ak1=-h*y(i-1) ak2=-h*(y(i-1)+ak1) y(i)=y(i-1)+(ak1+ak2)/2.0 10 continue do 20 i=0,10 write(20,*) i*h,y(i),exp(-i*h) 20 continue END 同理，对于后退欧拉公式 有预测－校正公式 或改写为： 用此法解前面的例子 1.4 误差估计 定义：利用第n个节点或之前更多节点的函数