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计算方法 授课人：任晓慧 Email: renxiaohui@lcu.edu.cn 案 例 ⑴用空中航测方法，空中连续拍照。 ⑵ 建立一个大型超定线性方程组。 ⑶ 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解，然后再整体平滑。 ⑷ 编程序，形成一个大型程序，上机进行计算。 作业 定理１－１ 设近似值x的左起第一位非零数字是 ．若x具有n位有效数字，则 用四舍五入法求π的近似值，使其相对误差限 作业 §1.4 向量和矩阵的范数 在对线性方程组求解时，常常要计算向量或矩阵。为了从整体上估计一个向量或矩阵的误差，就需要有一种度量向量或矩阵大小的方法。因此引进了范数概念。 向量范数 矩阵范数 1-范数 2-范数 无穷大范数 范数等价关系 向量序列 1-范数 2-范数 无穷大范数 谱半径 §1.4 向量和矩阵的范数 在对线性方程组求解时，常常要计算向量或矩阵。为了从整体上估计一个向量或矩阵的误差，就需要有一种度量向量或矩阵大小的方法。因此引进了范数概念。 绝对值性质 正定性 齐次性 三角不等式 定义1. 1.4 向量范数 --------(1) --------(2) --------(3) 显然 并且由于 --------(4) 例1.求下列向量的各种常用范数 解: 定理1-2 例如,常用的 定义1-5 若 则称向量序列 定理1-3 向量序列 设有向量序列 §1.4 向量和矩阵的范数 在对线性方程组求解时，常常要计算向量或矩阵。为了从整体上估计一个向量或矩阵的误差，就需要有一种度量向量或矩阵大小的方法。因此引进了范数概念。 向量范数 矩阵范数 1-范数 2-范数 无穷大范数 范数等价关系 向量序列 1-范数 2-范数 无穷大范数 谱半径 定义1-6. 例如 解： 首先求A的特征值， 由特征方程： 知： 所以矩阵A的特征值为-1（二重根）、5 定义1-6. 解： 首先求A的特征值， 由特征方程： 知： 所以矩阵A的特征值为6、-1 解： 首先求A的特征值， 由特征方程： 知： 高阶方程的精确解不好计算。可借助于其他方法求近似解。 定义1-6. 例如 §1.4 向量和矩阵的范数 在对线性方程组求解时，常常要计算向量或矩阵。为了从整体上估计一个向量或矩阵的误差，就需要有一种度量向量或矩阵大小的方法。因此引进了范数概念。 向量范数 矩阵范数 1-范数 2-范数 无穷大范数 范数等价关系 向量序列 1-范数 2-范数 无穷大范数 谱半径 x的相对误差 在不同近似值中，|εr (x)|越小，x的精确度越高。 ——x*的相对误差限 常用计算公式： （为什么？） 1.2.3.2 相对误差和相对误差限 例 设 的近似值哪一个精度高些? 解 x≈1, 绝对误差限ξx=0.5, 相对误差限ηx=0.5/1=0.5 y ≈ 10000, 绝对误差限ξy=5, 相对误差限ηy=5/10000=0.0005 由于ηy ηx ，所以y的近似值的精度较高。 同一对象比较时，用绝对误差、绝对误差限； 不同对象比较时，用相对误差、相对误差限。 = 1.2.3.1 绝对误差和绝对误差限 = 1.2.3.2 相对误差和相对误差限 = 1.2.3.3 有效数字 1.2.3 误差的基本估计方法 = 1.2.3.4 算术运算的误差 定义1.3 若近似值x的绝对误差限是某一位上的半个单位，则说 x 精确到该位，若从该位到 x 的左面第一位非零数字一共有n位，则称近似值x有n位有效数字。 准确数有无穷多位有效数字. 例 用3.1416作为π的近似值,有几位有效数字? 解 |π*-3.1416|=0.0000073…… Π*=3… x=3.1416 因此近似值精确到10-4,有5位有效数字. 1.2.3.3 有效数字 0.00005 =0.5×10-4 思考题：一般四舍五入得到的数字的有效数字如何计算？ 如：x=12.1446 四舍五入所得近似数从第一位非零数字到最后一位都是有效数字。 近似值末尾的0不能省去。 X*=35.7234567 X=35.72463 │ X*- X │ =0.0011733 绝对误差限：0.005=0.5×10-2 因此： X有4位有效数字。即：35.72 有效数字的位数不能直接由近似数的位数确定。 例 解 已知x=31.2063的绝对误差限ε(x)=0.5×10 -3，问x有多少位有效数字？ 可知x精确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非零数字共有5位，因此有5位有效数字。