计算机仿真教案04资料.ppt

2.5 误差分析、收敛性和稳定性 2.5.1误差分析 整体截断误差：从初始值开始,由某个近似数值计算方法经n+1步准确计算（不含舍入误差）的解 (计算方法的真解)与真值之差。 舍入误差：从初始值开始,由某个近似数值计算方法经n+1步计算，得出的实际值 与该计算方法的真解 之差。 数值积分法求解常微分方程的初值问题时，数值解 与真解 间的误差由整体截断误差和舍入误差两部分组成，即 2.5.2收敛性 /* Convergency */ 定义:一种积分格式,若对于任意固定的t n=t0+nh,当h→0（同时n→∞）时，由它在假定不作舍入误差的情况下求得的y n →y (t n)，则称这种积分格式是收敛的。 对于一般的单步法，数值积分格式为： 定理：假定单步法（如上式）具有p阶精度，且增量函数φ(t,y,h)关于y满足李普希兹条件 :非负常数 又设初始值y0 是准确的，则整体截断误差： y(t n )-yn=O( h p) 定义 例： 例：就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。 解：该问题的精确解为 欧拉公式为 对任意固定的 x = xi = i h ，有 ? ? 结论:(1)整体截断误差比局部截断误差低一阶； (2)单步法是否收敛，判断其增量函数关于y是否满足李普希兹条件。 例：假定微分方程的右端函数关于y满足李普希兹条件，验证四阶龙格-库塔法收敛。 2.5.3稳定性 对于模型方程 欧拉公式 Z变换 特征方程 欧拉公式的稳定条件：特征方程的根处于单位圆内，即 设原微分方程的特征根?=?+j? 稳定区域 若原微分方程是稳定的，计算公式的稳定还要依赖于原微分方程的特征根?和步长h。 设原微分方程的时间常数为T，即 步长 h 2T。 原微分方程是稳定的，采用欧拉公式计算是条件稳定。 采用梯形公式是恒稳定的，采用RK-4是条件稳定的。 应用技巧： 用两个显著不同的步长去计算，若所得数值结果基本相同，则该数值积分方法一般是稳定的；反之，很可能该数值积分方法不稳定。