计算机图形学4章二维变换资料.ppt

第4章 图形几何变换 第4章―* 计算机图形学 * 计算机科学与技术学院 第4章图形裁剪与几何变换 本章内容： §4.1 二维几何变换 §4.2 三维几何变换 几何变换解决问题： 1）图形的数据化 图形如何表示； 2）图形变换的方式 图形变换的数学模型； 3）图形变换的模式 图形变换过程描述。 §4.1 二维几何变换 一、二维图形的数据化：矩阵形式 在二维平面内，图形分为点、直线、平面图形。 一个点，其坐标可表示为行向量[x y]或列向量[x y]T。 一个平面图形，其顶点可用m×2或2×m矩阵表示： x1 y1 x1 x2 x3………xm x2 y2 ， …… xm ym y1 y2 y3………ym 从图形顶点矩阵可看出，图形的变换可以认为是点的变换。 二、二维图形的基本变换 1. 变换矩阵的形式 当一个坐标点由一个位置变换到另一个位置时，用矩阵乘法表示如下： [x* y*]= [x y]· 令 T= 称为变换矩阵。 2. 比例变换 对矩阵T，副对角线元素值为0，即b=c=0时的变换， [x* y*]=(ax+cy bx+dy)=(ax dy) T= 1）当a=d1时，图形沿两个坐标轴方向等比例放大； 2）当0a=d1时，图形沿两个坐标轴方向等比例缩小； 3）当a=d=1时，图形大小不变，称为恒等变换； 4）当a≠d时，图形发生畸变。 3. 对称（镜象）变换 变换前后的点对称于x轴、y轴、原点或某一个特定的直线，如±45°等。 1) 以x轴对称： 变换前后x坐标保持不变，而y坐标的值取反。 2)以y轴对称： 变换前后y坐标保持不变，而x坐标的值取反。 3. 对称（镜象）变换 变换前后的点对称于x轴、y轴、原点或某一个特定的直线，如±45°等。 1) 以x轴对称 变换前后x坐标保持不变，而y坐标的值取反。 2) 以y轴对称 变换前后y坐标保持不变，而x坐标的值取反。 xa -xa ya ya 4．旋转变换 P(x,y)点绕原点逆时针转动β角后，到达P1(x1,y1)点。设OP直线的倾角为α，距离为R，则有： x=R·COSα y=R·SINα x1=R·COS(α+β)=x·COSβ－y·SINβ y1=R·SIN(α+β)=y·COSβ+x·SINβ 注：旋转中心为坐标系的原点，角度以x轴的正方向为起点度量，逆时针取正值，顺时针取负值。 5．错切变换 (错位或错移) 错切变换是将平面图形沿x或y轴方向错移。 主对角线元素全为1，副对角线的元素b和c全不为0，或有一个不为0。 a b c d 1 b c 1 x y a b c d = ax+cy bx+dy x y 1 b c 1 = x+cy bx+y Cy和bx称为x、y的错切量 2) 沿y方向错切 变换前后各点的x坐标不变。 变换矩阵中c=0， b0时，沿y轴正方向错切； b0时，沿y轴负方向错切， 错切量为bx。 　 1) 沿x方向错切 变换前后各点y坐标不变，变换矩阵中b=0。 c0时，沿x轴正方向错切； c0时，沿x轴负方向错切， 错切量为cy。 x+cy y 1 0 c 1 x bx+y 1 0 c 1 三、变换矩阵的齐次坐标形式 用n+1维矢量表示n维矢量的方法，称为齐次坐标表示法，n+1维空间的坐标被称为齐次坐标。 x=x+Δx y=y+Δy Δy Δx x y a b c d = ax+cy bx+dy ax+cy+Δx bx+dy+Δy 2. 齐次坐标的正常化 二维图形点(x，y)，齐次坐标(Hx，Hy，H)，H≠0 若给定点(x，y，1) ，变换后则有：