计算机控制_03计算机控制系统分析.ppt

第3章 计算机控制系统分析 3.1 离散系统的稳定性分析 一个控制系统稳定，是它能正常工作的前提条件。连续系统的稳定性分析是在S平面进行的，离散系统的稳定性分析是在Z平面进行的。 3.1.1 S平面与Z平面的关系 S平面与Z平面的映射关系，可由 来确定。 设 则有 在Z 平面上，当δ为某个定值时z=eTs随ω由-∞变到∞的轨迹是一个圆，圆心位于原点，半径为z=eTs ，而圆心角是随线性增大的。 当δ=0时，|z|=1，即S平面上的虚轴映射到Z平面上的是以原点为圆心的单位圆。 当δ0时，|z|1，即S平面的左半面映射到Z平面上的是以原点为圆心单位圆的内部。 当δ0时，|z|1，即S平面的右半面映射到Z平面上的是以原点为圆心单位圆的外部。 S平面与Z平面的映射关系如图3.1所示。 于是得到下面结论： 1．S平面的虚轴对应于Z平面的单位圆的圆周。 在S平面上，ω每变化一个ωs时，则对应在Z 平面上重复画出一个单位圆，在S平面中-ωs/2～ωs/2的频率范围内称为主频区，其余为辅频区（有无限多个）。S平面的主频区和辅频区映射到Z平面的重迭称为频率混迭现象，由于实际系统正常工作时的频率较低，因此，实际系统的工作频率都在主频区内。 2．S平面的左半面对应于Z平面的单位圆内部。 3．S平面的负实轴对应于Z平面的单位圆内正实轴。 4．S平面左半面负实轴的无穷远处对应于Z平面单位圆的圆心。 5．S平面的右半面对应于Z平面单位圆的外部。 6．S平面的原点对应于Z平面正实轴上z=1的点。 在连续系统中，如果其闭环传递函数的极点都在S平面的左半部分，或者说它的闭环特征方程的根的实部小于零，则该系统是稳定的。由此可以想见，离散系统的闭环Z传递函数的全部极点（特征方程的根）必须在Z平面中的单位圆内时，系统是稳定的。 3.1.2 离散系统输出响应的一般关系式 设离散系统的闭环Z传递函数为： 设有n个闭环极点zi互异，m＜n，输入为单位阶跃函数，则 其中 取Z反变换得： 上式为采样系统在单位阶跃函数作用下输出响应序列的一般关系，第一项为稳态分量，第二项为暂态分量。 若离散系统稳定，则当时间k→∞时，输出响应的暂态分量应趋于0，即： 这就要求zi＜1 因此得到结论，离散系统稳定的充分必要条件是：闭环Z传递函数的全部极点应位于Z平面的单位圆内。 例3.1 某离散系统的闭环Z传递函数为 则w(z)的极点为 ： z1=-0.237，z2=-1.556 由于| z2 |=1.556＞1，故该系统是不稳定的。 3.1.3 Routh稳定性准则在离散系统的应用 连续系统的Routh稳定性准则不能直接应用到离散系统中，这是因为Routh稳定性准则只能用来判断复变量代数方程的根是否位于S平面的左半面。如果把Z平面再映射到S平面，则采样系统的特征方程又将变成S的超越方程。因此，使用双线性变换，将Z平面变换到W平面，使得Z平面的单位圆内映射到W平面的左半面。 设 （或 ）则 （或 ） 其中z，w均为复变量，即构成W变换，如图3.2所示。 例3.2 某离散系统如图3.3所示，试用Routh准则确定使该系统稳定k值范围，设T=0.25s。 解：该系统的开环Z传递函数为： 该系统的闭环Z传递函数为： 求得该系统的闭环Z特征方程为： 对应的W特征方程为： Routh表为 w2 0.158k (2.736-0.158k) w1 1.264 0 w0 (2.736-0.158k) 0 解得使系统稳定的k值范围为0＜k＜17.3 显然，当k≥17.3时，该系统是不稳定的，但对于二阶连续系统，k为任何值时都是稳定的。这就说明k对离散系统的稳定性是有影响的。 一般来说，采样周期T也对系统的稳定性有影响。缩短采样周期，会改善系统的稳定性。对于本例，若T=0.1s，可以得到k值的范围为0＜k＜40.5。 但需要指出的是，对于计算机控制系统，缩短采样周期就意味着增加计算机的运算时间，且当采样周期减小到一定程度后，对改善动态性能无多大意义，所以应该适当选取采样周期。 3.2 离散系统的过渡响应分析 一个控制系统在外信号作用下从原有稳定状态变化到新的稳定状态的整个动态过程称之为控制系统的过渡过程。 一般认为被控变量进入新稳态值附近±5%或±3%的范围内就可以表明过渡过程已经结束。 通常，线性离散系统的动态特征是系统在单位阶跃信号输入下的过渡过程特性(或者说系统的动态响应特性)。如果已知