三角函数与圆.ppt

* * 第二部分第四课时： 三角函数与圆 思想方法提炼 感悟、渗透、应用 课时训练 思想方法提炼 三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题，尤其会出现一些非特殊角求 其三角函数值的问题，或已知三角函数值求圆中的有 关线段长等问题.三角函数与圆的综合应用也是中考 中的热点问题之一. 感悟、渗透、应用 【例1】如图所示，已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB=BC=2，求tan ∠A的值. 【解析】 (1)证∠CDO=90°即可，理由OC为圆的直径. (2)利用△BCD∽△DCA得到BD8DA的比值 解：(1)连结OD，∵OC为直径 ∴∠CDO=90° 又∵OD为⊙O的半径∴CD是⊙O的切线 (2)由切割线定理有：CD2=CB·CA=8∴CD=22 ∵∠BDC=∠A，∠BCD=∠DCA∴△BCD∽△DCA ∴ = ∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan ∠A= 【例2】(2004年·甘肃省)已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于C，AE⊥CE, 交⊙O于D. (1)求证：DC=BC； (2)若DC:AB=3:5, 求sin∠CAD的值. 证明： 连接BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.又∠AEC=90°. ∴BD//EC.∴∠ECD=∠BDC.∴BC=CD 又∠CAD=∠CAB ∴sin∠CAD=sin∠CAB=BC/AB=DC/AB=3/5. 【例3】(2003年·湖北省黄冈市)已知：如图Z4-3，C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD； (2)若DF=5/4，tan ∠ECB =3/4，求PB的长. 【分析】 (1)证△ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD，在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan ∠DAP=tan ∠ECB=3/4，求出DP、PA、CP，最后利用△APC∽△CPB求PB的长. 解：(1)连结AC∵AC=CE∴∠CEA=∠CAE ∵∠CEA=∠CBA∴∠CBA=∠CAE ∵AB是直径∴∠ACB=90° ∵CP⊥AB∴∠CBA=∠ACP ∴∠CAE=∠ACP∴AD=CD (2)∵∠ACB=90°∠CAE=∠ACP ∴∠DCF=∠CFD∴AD=CD=DF=5/4 ∵∠ECB=∠DAP，tan ∠ECB=3/4 ∴tan ∠DAP=DPPA=3/4 ∵DP2+PA2=DA2 ∴DP=3/4 PA=1∴CP=2 ∵∠ACB=90°，CP⊥AB ∴△APC∽△CPB ∴ ∴PB=4 【例4】(2003年·河南省)已知如图所示，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE= . (1)求EM的长； (2)求sin ∠EOB的值. 【分析】 (1)用勾股定理求EC长，再用相交弦定理求EM的长. (2)构造Rt△EOF，利用三角函数求正弦值. 解：(1)∵DC为⊙O的直径∴DE⊥EC ∵DC=8，DE= ∴EC= =7 设EM=x，由于M为OB的中点∴BM=2，AM=6 ∴AM·MB=x·(7-x) 即6×2=x(7-x)，x2-7x+12=0 ∴x1=3，x2=4∵EM＞MC∴EM=4 (2)∵OE=EM=4∴△OEM为等腰三角形 过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=1 ∴EF= ∴sin ∠EOB= 【例5】(2003年·河南省)已知：如图所示，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8 (1)求BC的长； (2)连结DC，求tan ∠PCD的值； (3)以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求 直线BD的解析式. 【解析】 (1)过O作OE⊥BC，垂足为E，则BE=EC，连结OD，则OD⊥DP 又∵DP⊥PB，∴四边形OEPD为矩形 ∴ OE=PD=8 ∵OB=1/2*AB=1/2×20=10 在Rt△OEB中，EB2=OB2-OE2=102-82=36 ∴EB=6，∴BC=2EB=12 (2)∵PB=PE+EB=DO+EB=16 ∴PC=PB-BC=16-12=4 在Rt△PCD中， DP=8， PC=4 ∴tan ∠PCD=PD/PC= =2 1.如图所示，C是⊙O外一点，由C作⊙O的两条切线，切点为B、D，BO的延长线交⊙O于E，交CD的延长线于A，若AE=2，