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CHAP. 4 直梁的弯曲 由此得到 ， （4-5） 上式表示直梁弯曲时，相对转角 越大的横截面，其截面上弯矩越大， 它反映了截面转动与截面内力之间的关系。 将（4－5）代入（4—4）得到正应力计算公式 （4-6） 上式中，y为讨论点离中性轴的距离，向下为正，中性轴Z过截面形心，且垂直截面对称轴。 （4－6）式适用前提： a. 梁的材料服从虎克定律（纵向纤维间不存在相互挤压，仅有单向拉（压）） b. CHAP. 4 直梁的弯曲 对于T，槽形等截面，横截面不对称于中性轴，此时有二个WZ，以y1，y2表示 中性轴离上、下边缘距离, 由 令 得 （4-7） （4-8） WZ横截面对中性轴Z的抗弯截面模量（m3，mm3） 以上应力公式 虽然是在基于纯弯曲的假设推导得出的，但只要梁的l/h5，对于剪切弯曲的梁，上式仍有效。 其一为拉应力，另一为压应力。 CHAP. 4 直梁的弯曲 （4）截面的IZ与WZ IZ，WZ与A一样，反映的是截面的几何性质，面积A的大小反映了杆件抗拉（压）能力的强弱，而IZ，WZ则反映了截面抗弯能力的大小。相同材料，相同面积，若IZ（WZ）不同，则其抗拉能力相同，而抗弯能力可能差异很大。M一定，IZ（WZ）大则应力小，因此在选择梁的截面形状和尺寸，应尽量使横截面具有较大的IZ（WZ）。 下面分析计算矩形截面的IZ，WZ 取dA＝bdy 表4，P72列出了常用截面的IZ，WZ（圆（环），矩形，记住。 CHAP. 4 直梁的弯曲 2） 正应力强度条件及应用 通常，等截面直梁在剪切弯曲时， 的截面是梁的危险截面，在危险截面上下边缘处所产生的正应力是整个梁在工作时的最大应力。从强度角度，为了保证梁能安全工作，须满足： 为许用弯曲应力 ，可查手册 有2个注意点： （1）当横截面不对称于中性轴（如T字钢，工字钢，槽钢等）当 取W1,W2中较小者。 （2）当材料的许用拉伸（压缩）应力不等时，分别计算最大的正弯矩以及 最大的负弯矩，分别求这2个横截面上最大拉应力，最大压应力，需校核4点。 CHAP. 4 直梁的弯曲 解题步骤： a. 求支座反力; b. 作M－x图，确定危险截面; c.建立强度条件 例4-4 一简支梁受均布载荷作用，已知梁长l=3m, 其横截面为矩形，h=15cm, b=10cm,均布载荷集度q=3000N/m, 梁的材料为松木，其许用弯曲应力 =10MPa, 试按正应力校核此梁的强度。 简单的强度校验，检验Mmax截面处 CHAP. 4 直梁的弯曲 例4-5 一反应釜重30KN，安放在跨长1.6m的两根横梁中央，若梁的横截面采用如图所示的3种形状（矩形截面a/b=2），试确定梁的截面尺寸，并比较钢材重量。梁材料Q235A ， =120MPa。 解： 由正应力强度条件 可得所需的最小抗弯截面模量 截面比较一： CHAP. 4 直梁的弯曲 平放： 立放： 工字钢：查附表A-1，10#工字钢的W=49cm3，较接近，可用。查得A=14.3cm2; 三种不同截面所需钢材质量比（面积比）：工字钢：矩形立放：矩形平放=1：2.45：3.91 CHAP. 4 直梁的弯曲 截面比较二： 例4-6 现有三根跨长4m的简支梁，三根梁的材料均为Q235-A，许用弯曲应力120MPa, 它们截面形状不同，但截面面积相同（21.5cm2)。若在梁中央有一集中载荷，试问：三根梁所允许承受的最大载荷分别是多少？如果在距支座1m处置一集中载荷，该载荷最大允许值多少？如果该三根梁承受的是均布载荷，最大载荷又是多少？ 解：梁所能承受的最大弯矩 工字钢 矩形立放 矩形平放 CHAP. 4 直梁的弯曲 当梁在其中央承受集中载荷P时，其最大弯矩在梁的中央，且 故 b. 当在距支座l/4处作用着集中载荷P时，最大弯矩在集中载荷作用点处。且 故 c. 当沿梁全长承受均布载荷q（N/m）时，再大弯矩在梁中央，且 故 CHAP. 4 直梁的弯曲 从此例题可知，决定梁抗弯强度的截面几何量是抗弯截面摩量W 而不是面积A。对于弯曲梁，存在着所谓“合理截面”问题。对于矩形截面 平、立放及工字钢截面，以工字钢截面承受载荷最大。 CHAP. 4 直梁的弯曲 3） 梁的合理截面 由前面例题可以说明， a. 截面面积相同，但截面形状不一的梁，其Pmax不