北京四中---高中数学高考综合复习 专题十七 算术平均数和几何平均数.docx

高中数学高考综合复习专题十七　　算术平均数与几何平均数　　一、知识网络　　　　二、高考考点　　1、运用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或（a、b∈R+）判断或证明所给不等式的命题是否成立；　　2、在给定条件下求有关式的取值范围；　　3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值；　　4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。　　三、知识要点　　（一）不等式的性质　　不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。　　1、关于不等式的“基本性质”　　（1）对称性：ab ba　　（2）传递性：ab,bc ac　　（3）“数加“法则：ab a+cb+c　　推论：a+bc ac-b（移项法则）　　（4）“数乘”法则：　　ab,c0 acbc;　　ab,c0 acbc　　2、关于不等式“两边运算”的性质　　（1）同向不等式两边“相加”：ab,cd a+cb+d;　　（2）同向的正数不等式两边“相乘”：ab0，cd0 acbd；　　（3）正数不等式两边“乘方”：ab0 anbn0(n N*);　　（4）正数不等式两边“开方”　　认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）　　（二）基本定理及其推论　　定理1：如果a,b R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）　　推论（平方和不等式）：（当且仅当a=b时等号成立）　　定理2：如果a,b R+，那么（当且仅当a=b时等号成立）　　推论1（和的平方不等式）：若a,b R+,则（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）　　推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则　　（1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值（当且仅当x=y时取得）；　　（2）当和x+y为定值S时，积有最大值（当且仅当x=y时取得）；　　四、经典例题　　例1　　（1）若x,y R+且的最大值.　　（2）若x,y∈R且xy0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值.　　分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等　　（1）欲求积的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2：　　　　（2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。　　解：　　（1）注意到这里x0，u0，　　∴　　　　　　=（当且仅当）时等号成立）。　　　　（2）由已知得　　　　　　=3(当且仅当时成立)　　∴umin=3（当且仅当x=1且y=2时取得）　　点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式；　　遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。　　例2　　　　（1）若x,y,a,b R+，a≠b，且，求u＝x+y的最小值；　　（2）若0x1，a，b为常数，且ab0，求的最小值.　　分析：　　对于（1）如何利用 ,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”；　　对于（2），注意到这里0x1，并且两个分母之和为1：x+(1-x)=1,在 (1)的基础上易于寻出解题思路。　　解：　　（1）　　解法一（利用“1的替换”）：　　∵x,y,a,b R+　　∴　　　　　　　　　　　　解法二（运用“三角替换”）：注意到　　令　　则有x=asec2θ，y=bcsc2θ　　　　∴u= asec2θ+bcsc2θ　　=(atan2θ+bcot2θ)+(a+b)　　　　 (当且仅当atan2θ＝bcot2θ　　时等号成立)　　　　(2)注意到这里0x1，且x+(1-x)=1，　　∴令x=cos2θ,则1-x=sin2θ( )　　　　　　 (当且仅当时等号成立）　　∴ymin=(a+b)2(当且仅当时取得)　　点评:对于(1),是明显的;对于(2),x+(1-x)=1是隐蔽的，今后解决函数或代数的其它问题,也要注意认知并利用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。　　例3　　（1）设a,b,c是RtΔABC的三边，c为斜边之长，且a+b+c=4,试求C的取值范围；　　（2）设三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=1，试求b的取值范围。　　分析：在一定条件下求某个变量的取值范围，基本解题思路有二：　　(i)由已知条件与重要不等式导出关于的不等式，而后由这一不等式解出的取值范围；　　（ii）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重要不等式（外因），内外结合推导