2017届北师大版 空间向量在立体几何中的应用 题组训练报告.doc

题组层级快练(四十五) (第一次作业) 1．(2016·合肥一检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是(　　) A．60°　　　　　　　　　　 B．45° C．30° D．90° 答案　B 解析　连接A1D，DC1，A1C1，∵E，F为A1D，A1C1中点， ∴EF∥C1D. ∴EF和CD所成角即为∠C1DC＝45°. 2．若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(　　) A.35 B.45 C.34 D.5)5 答案　B 解析　间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC，故△B1DC为直角三角形． 设棱长为1，则有AD＝5)2，B1D＝3)2，DC＝5)2，∴S△B1DC＝12×3)2×5)2＝15)8. 设A到平面B1DC的距离为h，则有VA－B1DC＝VB1－ADC， ∴13×h×S△B1DC＝13×B1D×S△ADC. ∴13×h×15)8＝13×3)2×12，∴h＝2\r(5). 设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sinθ＝hAD＝45. 向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(3，0，2)． 设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量， 则有n·\o(CD→)CB1→))＝0⇒－y＋2z＝0，\r(3)x－y＋2z＝0)⇒n＝(0，2，1)． ∴sin〈→，n〉＝AD→)AD→)＝45. 3．(2016·皖南八校联考)四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V－AB－C的余弦值的大小为(　　) A.2)3 B.2)4 C.7)3 D.2)3 答案　B 解析　如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE，根据题意可知，∠VEO是二面角V－AB－C的平面角．因为OE＝1，VE＝32－1＝22，所以cos∠VEO＝OEVE＝12\r(2)＝2)4，故选B. 4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　以A点为坐标原点，AP，AB，AD分别为x，y，z轴建系且设AB＝1， ∴C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)． ∴设面CDP的法向量为n＝(x，y，z)． ∴n·\o(CD→)DP→))＝（x，y，z）·（0，－1，1）＝－y＋z＝0. 令y＝1，∴n＝(0，1，1)． 又∵→为面ABP的一个法向量，∴cos〈n，→〉＝AD→)AD→)＝1\r(2)＝2)2. ∴二面角为45°. 5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为(　　) A.3)3 B.5)5 C.5)3 D.5)5 答案　D 解析　方法一：由VB1－ABF＝VF－ABB1可得解． 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，1)，B1(1，1，0)． 设F(0，0，12)，E(12，1，1)，B(1，1，1)，→＝(0，1，0)． ∴→＝(－12，0，1)，→＝(－1，0，－12)． ∵→·→＝(－1，0，－12)·(－12，0，1)＝0， ∴→⊥→.又→⊥→，∴→⊥平面ABF. 平面ABF的法向量为→＝(－12，0，1)， →＝(0，1，－1)． B1到平面ABF的距离为\f(\o(AB1→)→)B1E→))|)＝5)5. 6．如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB. (1)求证：AB⊥DE； (2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值． 答案　(1)略　(2)3)3 解析　(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO. 因为EB＝EA，所以EO⊥AB. 因为四边形ABCD为直角梯形， AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC， 所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD. 所以AB⊥平面EOD.因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED. (2)方法一：因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC， 所以BC⊥平面ABE. 则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角． 设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，所以CE＝3a. 则在直角三角形CBE中，sin∠CEB＝CBCE＝1\r(3)＝3)3， 即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为3)3. 方法二：因