ch6常用约束最优化方法.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * 第二轮迭代: 构造近似线性规划 求解此线性规划得y(1)=(0, 1)T。 由于 , 构造可行下降方向 一维有哪些信誉好的足球投注网站求解 得步长 * 第三轮迭代: 构造近似线性规划 得最优解 由于 , 停止计算输出最优解 x(2)是问题的K-T点。而且由于问题是凸规划, 故x(2)又是问题的整体最优解。 * Frank-Wolfe法将问题归结为求解一系列辅助线性规划问题, 方法简单方便。但是由于该方法是一种可行方向法, 在每次迭代中, 有哪些信誉好的足球投注网站方向总是指向某个极点, 并且当迭代点接近收敛时, 有哪些信誉好的足球投注网站方向与目标函数的梯度向量正交。由前面无约束问题的结论可知, 这种有哪些信誉好的足球投注网站方向不是最好的下降方向, 因此算法收敛较慢。但该种方法对某些问题, 如研究交通问题时, 能得到较好的计算结果。因此Frank-Wolfe方法在实用中仍是一种有用的算法。 * §6.5 Zoutendijk方法 该方法是Zoutendijk1960年提出的, 考察线性约束的非线性规划问题： 其中f是连续可微的非线性函数, 仍记问题(6.5.1)的可行域为 6.5.1 起作用约束和可行方向 设点 且A1x(k)=b1, A2x(k)b2 称A1x=b1的每一个约束条件关于x(k)是起作用约束, 简称 A1x(k)=b1关于点x(k)是起作用约束。 定理6.5.1设 , 若有A1x(k)=b1, A2x(k)b2则p∈Rn (p≠0)是点x(k)关于D的可行方向的充分必要条件是 由定理6.5.1的结论, 为了得到f(x)在点x(k)处关于D的可行下降方向, 只须考察线性规划 * * 其中, pi表示向量p的第i个分量, 约束条件 -1≤pi≤1 是为了使线性规划问题能得到有限的最优解。 对线性规划问题(6.5.3), 由于p=0是其可行解, 所以若p(k)是其最优解, 就有 。假设有 则p(k)就是f(x)在点x(k) 处关于D的可行下降方向 。 定理6.5.2设 , 而且A1x(k)=b1, A2x(k)b2 , 若p(k)是 线性规划问题(6.5.3)的最优解, 则x(k)是最优化问题 (6.5.1)的K-T点的充分必要条件是: 2．Zoutendijk法 为了使从点x(k)出发沿方向p(k)作一维有哪些信誉好的足球投注网站后得到的点仍然是可行点, 考察如下的一维优化问题 由 有cx(k)=d, 由p(k)是可行方向和定理6.5.1的结论应该有cp(k)=0, 故规划问题(6.5.4)中的等式约束条件恒成立。由A1x(k)=b1和定理6.5.1有 即最优化问题(6.5.4)中不等式约束条件中的起作用约束条件也恒成立。这样最优化问题(6.5.4)可以转化为等价的形式 为了简化(6.5.5)中的不等式约束条件, 将其改写为 * 记向量 则有 由 , 现分别讨论: (1)当 且 时(6.5.6)式恒成立; (2)当 , 即 中至少有一个分量 令 * 则对 (6.5.6)式恒成立。所以问题(6.5.4)可转化为一维有哪些信誉好的足球投注网站 其中 算法(Zoutendijk法) (1)给定初始点x(0), 误差ε0, k←0。 (2)分解 , 使 * (3)构造线性规划 并求得最优解p(k) (4)若 , 停止计算, 输出x*=x(k); 否则 得到可行下降方向p(k),转(5)。 (5)计算 (6)求解 * 其中 得步长 (7)令 转(2) 例6.5.1 用Zoutendijk法求解, 误差 * 解： 第一轮迭代: 取初值 构造辅助线性规划 求得最优解p(0)=(1, 1)T, 由