热传导方程与扩散方程概要.ppt

第二章 热传导方程与扩散方程 热传导方程 定解条件 定解问题 扩散方程 第二节　初边值问题的分离变量法 定解问题 典型问题的求解 分离变量流程图 典型问题的求解 例题1 第二类边界条件 定解问题 典型问题的求解 例题2 * * * * 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。 物理模型 Fourier实验定律 注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧， 由热量守恒定律，物体内部无热源时， 交换积分次序 若物体内部有热源， 数学模型 二维的情形： 一维的情形： 其中： a2=k/Cρ， f (x,y,z,t)=f0/C， 如果物体是均匀的，且各向同性的，则有 边界条件 给定温度函数 u(x,y,z,t) 在物体?表面的限制。一般来有三种类型： 第一类边界条件： 初始条件 给出物体在初始时刻 t=0 的温度 第二类边界条件： 第三类边界条件： 由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题 混合问题： 初始问题： 考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻 t 的分布规律。 物理模型 数学模型 其中： u(x,y,z,t)表示于时刻 t 在 (x,y,z) 处的分子浓度 f (x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数 D 为扩散系数 未知函数分离 泛定方程分离 边界条件分离 分离结果 空间方程解出 非零解条件 非零解 时间方程解出 分离结果的求解 初始条件要求 分离结果的合成 再合成半通解 系数的确定 过程小结 分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数 代入初始条件 分离变量 分别求解 合成半通解 初始条件要求 未知函数分离 泛定方程分离 边界条件分离 本征运动 半通解