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§３ 数列极限存在的条件 数列极限的两大问题 数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题） 数列极限值的大小； （存在性成立后， 才想办法计算极限） 几种证明极限存在的方法： 按照数列极限的定义证明。 按照奇、偶子列的收敛性证明。 依据任意子列的收敛性证明。 利用夹逼准则证明。 几个简单的单调数列： 证明:对递减数列 由确界原理, 有下确界,令 下证 由下确界定义: 故 时 而 所以 时 即 几点说明： ? 通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 ? 本定理只是证明了存在性。 ? 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。 ? 此定理的条件为充分非必要条件。 作业 P39 1(2)(4),3(1),5(2),7 * 教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。 教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用 它求某些收敛数列的极限； （２）初步理解Cauchy准则在极限理论中的 主要意义，并逐步会应用Cauchy准则 判断某些数列的敛散性。 最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性 定义　　若数列 的各项满足不等式 则称 递增和递减数列统称为单调数列． 为递减数列； 为递增数列； 不是单调数列。 ， 为递增（递减）数列。 例如： 单调有界定理 1 单调数列 单调增加 单调减少 单调数列 2 单调有界准则 几何解释: 定理 在实数系中，有界且单调数列必有极限。 例1 设其中 ，证明 收敛。  证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上： 例２　证明数列 收敛，并求其极限. 证明：记 , 则 先证 有界: 则 故 从而 故 单调有界，因而收敛。 令 例3 设S为有界集，证明：若 单调递增数列 则存在严格 使得 证明：先建立一个不等式，设 对任一正整数 ，有 整理后得不等式： 例4 证明 存在。 联系到该数列的单调性，可知对一切正整数 ，都有 ,即 有上界。 单调递增上界，即收敛。 于是 上式对一切正整数 都成立，即对一切偶数 ，有 。 二 Cauchy收敛准则： 定理2.10 收敛的充分必要条件是： ,存在正整数Ｎ，使 数列 时有 。 1 Ｃauchy收敛准则 根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。 对任给的 得当 收敛数列的各项越到后面，项之间几乎“挤”在了一起。 判别 的收敛性只要根据本身满足的特性就可以判别，不需要引入别的数列作参照。 把数列项与其极限的关系变换为数列各个项之间的关系。 证明： 2 Ｃauchy收敛准则逆否命题 若存在正数 ,使对任给正整数N,存在正整数 ,使 则数列 发散. *