圆锥曲线的补充资料.PDF

林信安老師編寫 圓錐曲線的補充資料 (甲)圓錐曲線的其他定義 (1)利用離心率定義圓錐曲線： 平面上到一定點F和一條定直線L(F ∉L)的距離比等於一個常數e的動點P的軌跡， ⎯ 稱為圓錐曲線Γ ，即Γ={P| PF=e ⋅d(P,L)} 。 其中F稱為Γ的焦點，直線L稱為Γ的準線，定數e稱為Γ的離心率。 我們選定直線L為y 軸，過定點F而與L垂直的直線為x軸， 設P(x ,y )為Γ上的一點，令F(c,0) ，c≠0 2 2 P ⇔ (x−c) +y =e⋅|x | 2 2 2 2 ⇔ (1−e )x +y −2cx+c =0…….(*) 2 c (a)當 e=1 時，(*)可化成y =2c(x− ) 2 故Γ代表拋物線。 O F (b)當0e1 時，(*)可化成 L c 2 (x −1−e2 ) (y −0)2 + 1 2 2 2 2 e c e c 2 2 2 (1− ) 1−e e 故Γ代表橢圓。 (c)當e1 時，(*)可化成 c 2 (x +e2 −1) (y −0)2 − 1 2 2 2 2 e c e c (e2 −1)2 e2 −1 故Γ代表雙曲線。 1 林信安老師編寫 (2)由標準式求離心率、準線、焦點 我們從圓錐曲線的標準式出發，也可以求得離心率、準線與焦點。 (a)拋物線： 2 設拋物線Γ方程式為y =4cx ，焦點F(c,0) 設P(x ,y )為Γ上的任一點， ⎯ 2 2 PF= (x−c) +y =|x+c| ⎯ 取準線為x+c=0 ，上式可化為PF=d(P,L) ， 因此可得離心率e=1 ，準線x+c=0 ，焦點F(c,0) 。 (b)橢圓： 2 2 設橢圓Γ方程式為x2 + y 2 =1 ，F (c,0) 、F (−c,0)為焦點 a b 1 2 設P(x ,y )為Γ上的任一點， 2 ⎯ 2 2 c c a PF = (x−c) +y =| x−a|= |x− | 。 1 a a c