离散数学-图论基础-1.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 邻接矩阵 例7.3.3 图G=V,E如图所示，求A, A2, A3, A4 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 A= v1 v3 v4 v2 0 1 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 A2= 1 0 1 1 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 A3= 1 2 0 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 2 0 1 A4= * 邻接矩阵 由上面的定理可知：若要判断图G中结点vi到vj是否可达，可以利用G的邻接矩阵A，计算A, A2, A3, …, An, …若发现某个Ar（r是正整数）中aijr ≥ 1，则表明vi到vj可达。 由上一节的定理可知：对于含有n个结点的图G，任何基本链（路）的长度不大于 ，任何基本圈（回路）的长度不大于 因此，仅考虑 aijr （1 ≤ r ≤ n）即可 n-1 n * 邻接矩阵 因此，只要计算Bn= (bij) =A+A2+A3+…+An Bn 中元素bij 表示vi到vj的长度小于等于n的不同路径的总数 bij ≠ 0时， vi可达vj；若i=j，则说明存在经过vi的回路 bij ＝ 0时， vi不可达vj；若i=j，则说明不存在经过vi的回路 * 邻接矩阵 例7.3.4 图G=V,E如图所示，求Bn v1 v3 v4 v2 Bn= A + A2 + A3 + A4 0 1 1 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 + 1 0 1 1 0 2 0 1 0 1 2 0 1 0 0 1 + 1 2 0 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 2 0 1 + 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 = 2 4 2 4 1 3 3 2 3 3 3 4 1 3 1 2 = * 邻接矩阵 问题：如何判断某无向图G是否为连通图？ 求出Bn= (bij) =A+A2+A3+…+An 若有某个bij 为0(i≠j) ，则说明结点vi和vj处于不同的连通分图中，图G为分离图；否则G为连通图（即非主对角线上元素都不为0）。 思考： 主对角线上元素bii 表示什么？ * 可达矩阵 若关心的只是结点间的可达性或结点间是否有链存在至于存在多少条链以及长度为多少无关紧要则可以使用可达矩阵P=(pij)来表示结点间的可达性： pij= 1, vi 可达 vj0, vi 不可达 vj * 可达矩阵 可达矩阵P=(pij)的计算之一：通过Bn 可令Bn= (bij) =A+A2+A3+…+An再将Bn中非零元素改为1，零元素不变，即可得到P pij= 1, bij ≠ 0 0, bij ＝ 0 注意：可达矩阵中，主对角线元素aii只表现了是否存在经过结点vi的圈，并不描述结点到自身的可达性。 * 可达矩阵 例7.3.5 图G=V,E如图所示，求可达矩阵P v1 v3 v4 v2 Bn= A + A2 + A3 + A4 2 4 2 4 1 3 3 2 3 3 3 4 1 3 1 2 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P = 由P可知： G中任意两个结点彼此可达 任意结点处都有圈存在G是强连通图 * 可达矩阵 如何判定有向图G是否为强连通图？ 强连通图G的可达矩阵P中所有元素aij都为1（aii是否必然为1？） 如何判定有向图G是否为单向连通图？ 若P ∨ PT中非主对角线上元素都为1，则G是单向连通图（主对角线上元素aii是否必然为1？） 如何判定有向图G是否为弱连通图？ 根据G的基础图G’的邻接矩阵A’，求出G’的可达矩阵P’，其中非主对角线上元素都为1 * 可达矩阵 可达矩阵P=(pij)的计算之二：布尔矩阵运算布尔矩阵中的元素，属于集合{0, 1}对布尔矩阵B和C，定义运算： B和C的布尔和：B ∨ C(B∨C)ij=bij∨cij B和C的布尔积：B ° C(B ° C)ij= ∨