20.5.3几何应用,习题课.ppt

2. 三个平面的位置关系 3.空间四点Mi (xi, yi , zi ) (i=1,2,3,4)共面 4.平面三点Mi(xi , yi) (i=1,2,3) 共线 例1 预习 6.1 本题可进一步得出 r(A)=r(ATA) 因为AX=0与ATAX=0同解，故基础解系相同.则基础解系所含无关的解向量的个数相同, 即n-r(A)=n-r(ATA). 所以 r(A)=r(ATA). 若A为m?n 阶实矩阵,则 预 习 6.1 《线性代数与空间解析几何》 第二十三讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王 宝 玲 6.1 特征值与特征向量 第六章 特征值、特征向量 及相似矩阵 * 例5 已知 为 的两个不同解, 为AX = 0的基础解系,k1,k2是两个 任意常数,则 的通解为: 5.3 方程组的几何应用 矩阵的秩及方程组的理论可以用来讨论几何空间中的平面、直线的位置关系. r(A)≠r(A b)时,两平面平行但不重合 r(A)=r(A b)=1时,两平面重合 r(A)=r(A b)=2时,两平面相交于一条直线 1. 两个平面的位置关系 不全为0 此时方程组有无穷多解,有一个自由未知量,可求出通解为： 即 t为任 意常数. 为直线的参数方程. 注 特解代表交线上的一个点,导出组的 基础解系代表交线的方向向量. 三平面重合,方程组 有无穷多解. 三平面交于一条直线, 方程组有无穷多解. 不全为0 三平面交于一点, 方程组有唯一解. 三平面平行, 方程组无解. 三个法向量共面,方程组无解. 三个法向量中任意两个不成比例. 三个法向量中有两 个无关,两个成比例. 交成2或3条平行直线 M1M2 , M1M3 , M1M4 共面 向量 ? ?= 0 M1M2 , M1M3 , M1M4 M1M2 , M1M3 向量 共线 设三直线交于一点,即方程组 设 证明平面上的三条直线 交于一点的 线性无关,而 线性相关. 有唯一解 证 即 是方程组 线性无关,而 线性相关. 线性无关,而 线性相关. 若 则 可由 线性表示,且表法唯一.设 即 的唯一解,即三直线交于一点. 《线性代数与解析几何》 第二十讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王 宝 玲 第五章 线性方程组 习 题 课 几何应用 线 性 方 程 组 三种形式 有解判定 有解判定 齐次 非齐次 求解方法 求解方法 解的性质解的结构 平面位置关系的判定 解的性质解的结构 例1 已知 (1) a,b为何值时, 不能表为 的线性组合. (2) a,b为何值时, 可唯一表为 的线性组合. 解 (1) 不能表为 的线性组合 (2) 可唯一表为 的线性组合 无解. 有唯一解. 当 时, 这时 不能表为 的线性组合. 当 任意时, 可唯一表为 的线性组合. 这时 行 已知线性方程组A4×4X=0有基础解系 则该方程的一个特解是 例2 解 设 行 解系线性表示,所以不是解. 应选(B). 故 可由 线性表示, 所以 是该 方程组的一个解, 不能由基础 例3 时仅有零解. 时必有非零解. 时必有非零解. 时仅有零解. 解 只有零解 有非零解 这时 即可. 故应选(D). 设 则方程组 设矩阵An?n且?A??0, 记A的前n?1 列形成的矩阵为A1, A的第n列为b. 问: 线性方程组A1X=b是否有解？为什么？ 解1: 无解, 因为r(A1)=n?1 r(A1,b)=r(A)=n 系数矩阵与增广矩阵的秩不等. 解2：因为A可逆, A的n个列向量组线性 无关, 所以b不能由前n-1个向量线性 表示,即原方程组A1X=b无解. 例4 已知向量组?1, ?2, ?3是齐次线性方程 组AX=0的基础解系, 则下列向量组中也可 以作为AX=0的基础解系的是( ). ?1+?2, ?2+?3, ?3-?1 ?1-?2, ?2-?3, ?3-?1 (C) ?1, ?1-?2, ?1+?2 (D) ?1, ?1+?2, ?1+?3 解 利用前面学习的结论, 把这些向量组 用?1, ?2, ?3表示出来, 观察相应的矩阵. 例5 例6 已知 是 的基础 解系,则 的基础解系还可以表示成 的一个等价向量组. (B)