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2011闫浩微积分习题及答案9
作者：闫浩 2011 年9 月
微积分B(1)第九次习题课题目参考答案
（第12 周）
一、不定积分
1．求不定积分
（1） e x dx ； （2） max{x 3 , x 2 ,1}dx ；
解 （原函数的概念，分段函数的原函数）
ex C , x 0;
x 1
（1） e dx 其中 1 C1 1 C2 ，即C1 2 C2 ．
ex C2 , x 0,
1 3
x C , x 1;
3 1 2 3
3 2
（2） max{x ,x ,1}dx x C , 1 x 1; 其中C C , C C ．
2 1 2 3 2
1 4 3 4
x C , x 1,
3
4
1
2． 设 xf x dx x C dx ．
( ) arctan ，求
f (x )
解 （不定积分概念）
1
因为 xf (x )dx arctan x C ，所以xf (x) [arctan x C] 2 ，因此
1 x
1 2 1 2 1 2
dx x (1 x )dx x (1 x ) C ．
f (x) 2 2
3．已知f (2 cos x) tan2 x sin 2 x ，求f (x ) 的表达式．
解 （原函数的概念，复合函数的导数，凑微分法）
因为 f (2 cos x) tan2 x sin 2 x ，所以
(f (2 cos x)) f (2 cos x)( sin x)
2 2 1 2
(tan x sin x)( sin x) ( cos x)( sin x)，
2
cos x
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