25 微积分基本公式.ppt

上页 下页 铃 结束 返回 首页 主要内容： 第五章 定积分及其应用 第二节 微积分基本公式 一、位置函数与速度函数之间的联系； 二、积分上限的函数及其导数； 三、牛顿??莱布尼茨公式. 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的路程为S(t), 速度为v?v(t)?S?(t)(v(t)?0), 则在时间间隔[T1, T2]内物体所经过的路程S可表示为 一、位置函数与速度函数之间的联系 上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1, T2]上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间[T1, T2]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 即 考察定积分 记 积分上限的函数 二、积分上限的函数及其导数 则积分上限的函数 证明 有 定理1 若 定理2（原函数存在定理） 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系. 证明 例6 设f(x)连续, u1(x), u2(x)可导, 则有 设F(x)为f(x)的一个原函数, 则有 于是 例1 解 推论 设f(x)连续, u1(x), u2(x)可导, 则有 例2 解 若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则 定理2(牛顿??莱布尼茨公式) 证明 因为F(x)和?(x)都是f(x)的原函数? 所以存在常数C? 使 F(x)??(x)?C. 由F(a)??(a)?C及?(a)?0, 得C?F(a), F(x)??(x)?F(a). 由F(b)??(b)?F(a), 得?(b)?F(b)?F(a), 即 三、牛顿??莱布尼茨公式 牛顿??莱布尼茨公式揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系. 三、牛顿??莱布尼茨公式 若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则 定理2(牛顿??莱布尼茨公式) 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系． 则有 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式 解 解 例3 例4 计算正弦曲线y?sin x在[0? p]上与x轴所围成的平面图形的面积A? 解 如被积函数有绝对值, 注: 再用 去掉后, N-L公式. 应分区间将绝对值 例5 求 例6 已知函数 求积分上限的函数 解 例7 设f(x)为连续的周期函数, 周期为T, 试证 证明 例8 求极限 解 原式 解 设 求 定积分为常数, 设 , 则 故应用积分法定此常数. 例9 例10 试证: 证明 课后练习 习题5-2 (P243) 5，6，9，10，12. 上页 下页 铃 结束 返回 首页