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专升本证明题
证明题
一、方程的根
例如:
又例:证明方程,在区间内有两个实根
(3)利用罗尔定理证明方程的根存在
把所给方程一端减去一端,再把变量ξ换成x,观察哪个函数求导之后为这个代数式,这个函数就是要构造的函数;然后根据题设确定区间,验证是否满足罗尔中值定理。
二、证明不等式
例如
(3)利用函数图形的凹凸性证明不等式
例如
证
(4)利用拉格朗日中值定理(罗尔定理)证明不等式。
把式子变形出现两个函数值之差,构造函数,确定在所给范围内满足拉格朗日中值定理,求出导数,对导数进行放大和缩小
例如
以上方法的共同特点是:选取变量构造辅助函数,研究辅助函数的单调性、凹凸性、极值等。构造辅助函数的基本思想是:从欲证问题的结论入手,通过逆向分析,去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。在做此类题时,证明代数式不等式一般用中值定理;证明函数不等式一般用单调性;证明函数与数之间的不等式一般用最大、最小值求证。
三、证明等式成立
(1)利用罗尔定理(拉格朗日中值定理)证明等式成立
把所给等式一端减去一端,再把变量ξ换成x,观察哪个函数求导之后为这个代数式,这个函数就是要构造的函数;然后根据题设确定区间,验证是否满足罗尔中值定理。
例如
(2)其它
举例
1. 设,试证,并计算.
证明:
;
即有,故.
,
而,
所以.
2.
3. 若函数在上连续,在内可导且,试证:至少存在一点,使得成立.
证明:构造函数,因在上连续,所以函数在上也连续,而在内有意义,
又因为,,所以在上满足罗尔中值定理,
故 至少存在一点 ,使得,即,而.所以有成立。
4. .证明方程在区间内有唯一实数根.
证明:令,则在上有意义,即有在上连续;而,由零点定理知,至少存在一点,使得,即方程在内至少有一个实数根.
另一方面,,知在内是单调上升的,从而方程在内至多有一个实数根.
综述,方程在内有唯一实数根,即方程在区间内有唯一实数根。
5.
当 时,
提示:令在上满足拉格朗日中值定理。
6. 求证:当
证:设
所以单调增加
所以
7. 证明:方程ln(1+x2)=x-1有且仅有一个实根.
证:由故方程的成立范围为[1,+∞);
令F(x)=ln(1+x2)―x+1,
因,F′(x)=
所以,函数是单调递减的.
又,当x=1时,F(1)=ln20,
,
又,
∴曲线y=F(x)与x轴有唯一的交点;
即方程有且仅有一个实根.
得证.
8. 证明:。
证明:构造函数显然在区间上满足拉格朗日定理的条件,
即,其中
显然有 ,
故 成立.
9.证明:
构造函数,----(1分)
由于在有意义,
所以函数在连续且可导,且,即在上满足罗尔中值定理,-----(4分)
故存在,使得,
即.------(5分)
10. 试证:当时,.
证明:构造函数,---(1分)
显然,函数在上连续且可导,满足拉格朗日定理,从而存在使得-----(3分)
即 ---(4分)
由因为,-----(5分)
故 .----(6分)
11. 对于任意,试证:都成立 .
证明:构造函数,则
令,得唯一驻点,
又因为,所以函数曲线是凹的,且在处有最小值
.
所以
即恒成立.
说明:利用单调性证明不等式,其基本方法是:
若要证明:当有.
可令,如果满足下面的条件:(1);(2)当时,有;则由为单调增加函数可知,当时,,
即.
,,,(x0),求证.
证:
12. 设在点处连续,且(为常数),证明在点处可导;
证 ,则 ,
又因为在点处连续,所以,
则 ,
于是 ,
所以在点处可导,且.
13. 证明:当 时,;
证一 令,则
,,
,
所以在上连续且单调增加,则,
所以在上连续且单调增加,则,
所以在上连续且单调增加,则,
即 ,
也即 .
证二 令,
则 ,
当 时,有
,
所以当时,函数单调增加,有,
即 ,
也即 .
14. 证明.
证 令,则,,且当时,; 当时,. 于是
= ==.
15. 设在上有连续导数,且,,求证
;
证一
,
移项,有 ,
所以 .
证二
,
即 .
16
17.
18.
19 设函数,且在x=1处连续,试证明在x
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