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复变函数复习提纲及例题
复变函数复习提纲：
第一章 复数的一般表达式，三角表达式，指数表达式；乘幂与方根（特别是
方根的计算）；
第二章 用 C-R 条件判断函数的可导性和解析性，如可导，会求导数；会做一些
初等函数的计算：主要是对数函数和幂函数；
第三章 这一章的东西比较多，会用柯西古莎基本定理，会用原函数算积分，会
用柯西积分公式和高阶导数公式算闭曲线上的积分；会做已知解析函数的实部
求虚部的题；
第四章 会求幂级数的收敛半径，会做简单的洛朗展开；
第五章 找出函数的奇点，并判断其类型，特别是极点的级；会做简单的留数的
计算。
一些例题：
第一章
1.将下列复数表示成x + iy 的形式。
i 1− i 1− i 7 i − 2
(1)z =+ (2) z ( ) (3) z
1− i i 1+ i i
1+ i +
i − 1
2.求下列复数的三角表达式和指数表达式。
π π (cos5ϕ + i sin 5ϕ )2
(1) z =− 12 − 2i (2) z sin =+ i cos (3) z
(cos3 − i sin 3 )3
5 5 ϕ ϕ
(4) z 1=− cosα + i sinα ,0 α ≤ π
1 π π z
3.已知z (1=− 3i ) ，z sin =− i cos ，求z z 与 1 。
1 2 1 2
2 3 3 z
2
4.化简(1+ i)n + (1− i)n 。
5.设 x , y 为实数列，且满足x + iy (1=+ 3i)n ，求证：
{ n } { n } n n
1
x y − x y 4n−1 3
n−1 n n n−1
3
6.计算 1− i 。
4
7.计算 1+ i 。
8.解方程(1+ i)5 (1=− i)5 。
第二章
1.判断下列函数在何处可导，何处解析，若可导，求其导数。
2
x
(1) w z (2) f (z ) e (cos y =+ i sin y ) (3) w z
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