(a)质量-弹簧-摩擦系统.PPT

NTU_BIME_自控講義_Joe-Air Jiang Automatic Control Systems_B. C. Kuo F. Golnaraghi * 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER 本章的目標為︰ ※ 前 言 1. 說明控制系統與組件的數學模式。 2. 說明如何從模式導出計算機的解。 ※ 電網路的模型化 ★ 傳統方法 迴路法和節點法 克希荷夫 (Kirchhoff) 的兩條定律：KVL與KCL ★ 現代化的方法 狀態變數法 附錄 B ? 例題 4-1 考慮圖 4-1(a) 所示的 RLC 網路。設定電感器 L 的電流 i(t)，及跨過電容 器 C 的電壓 ec(t) 為狀態變數。試求此網路的狀態方程式。 Sol. 1. 電流流經 C︰ (4-1) (4-2) 2. 電壓跨於 L︰ 外加電壓 e(t) 3. 狀態方程式可以向量矩陣形式寫成 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER 圖 4-1 (a) RLC 網路；(b) 狀態圖 (4-3) 4. 網路的狀態圖如圖 4-1(b)所示。 ★ 注意：輸出端的積分器定義成狀態變數。 ★ 試求轉移函數Ec(s)/E(s)與I(s)/E(s) = ? 由狀態圖並設所有的初始狀態為零，應用 SFG 增益公式而得到 Sol. 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER (4-4) (4-5) ? 例題 4-2 考慮圖 4-2(a) 中的網路，將跨過電容器的電壓 ec(t) 和流經電感器的電 流 i1(t) 和 i2(t) 設計為狀態變數。試求此網路的狀態方程式。 1. 應用克希荷夫 (Kirchhoff) 的兩條定律，狀態方程式為 Sol. (4-6) (4-7) (4-8) (4-9) 狀態方程式的向量矩陣形式寫成： 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER 圖 4-2 (a) 例題 4-2 中的網路；(b) 狀態圖 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER 2. 網路的狀態圖如圖 4-2(b)所示。 ★ 試求轉移函數 Ec(s)/E(s)，I1(s)/E(s) 與 I2(s)/E(s) = ? 3. 不考慮初始狀態的狀態圖如圖 4-2(b) 所示。 4. 由狀態圖，可以得出各所求轉移函數為 Sol. (4-10) (4-11) (4-12) (4-13) 其中， 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER ※ 機械系統元件的模型化 1. 大部份的回授控制系統包括機械和電子元件，有些甚至還包括水壓和氣壓元件。 2. 從數學上的觀點來看，機械和電子元件的描述是類似的。 3. 機械元件的運動可以用種種方法來描述，如平移、旋轉，或兩種的結合。 4. 支配機械系統運動的方程式通常是直接或間接由牛頓運動定律而形成。 ※ 平移運動 1. 平移運動的定義是一個沿著直線運動的動作。用來描述平移運動的變數為加速 度、速度和位移。 2. 牛頓運動定律： (4-14) 其中 ，M 代表質量，而 a 代表在所考慮方向的加速度。 ★ 常見的平移運動包括下列元件︰ 1. 質量︰質量代表儲存平移運動動能的一種元件。 (4-15) W 代表物體的重量，M 為質量 ，g 是自由落體的重力加速度 在英制單位系統 g = 32.174 ft/sec2，在公制單位系統中 g = 9.8066 m/sec2 與電網路中的電感類似 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER 基本單位︰ 單位之間的轉換 圖 4-3 力-質量系統 圖 4-3 說明一力作用於質量為M 的物體情況。力方程式可寫成 (4-16) 其中， v(t) 代表速度。 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER 2. 線性彈簧︰可以是一個真的彈簧或是有順應性的纜線或皮帶的模型。通常，彈簧 可視為儲存位能的元件。 與電子電路中的電容類似 若彈簧的形變很小時，其行為可用下列的線性關係來近似︰ (4-17) 其中，K 為彈簧常數 (spring constant)，或剛性 (stiffness)。 彈簧常數的單位系統 代表線性彈簧元件的模型如圖 4-4 所示。若彈簧預先施加一張力 T，則 (4-17) 式必須修改為 圖 4-4 力-彈簧系統 (4-18) 實 際 系 統 的 模 型 化 CHAPTER ※ 平移運動的摩擦 當兩實際元件之間有相互運動或運動的趨勢 時，就存在著摩擦力。 兩接觸面之間的摩擦力特性，是依表面的組成、表面之間的壓力、相