3.2－3.3一维单原子链.ppt

第三章 晶格振动与晶体的热学性质 一维单原子链的振动 一维双原子链(复式格子)的振动 本节主要内容: 晶格振动：晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动是指原子在格点附近的振动。 热运动在宏观性质上的最直接的表示是热容量： 1907年，爱因斯坦第一次提出固体比热容的理论，非常简洁地将固体中N个原子的振动简化为3N个谐振子。又根据普朗克的量子化假设，假定谐振子的能量是由一份一份相等的能量量子组成。实际上德布罗意在1924年提出的波粒二象性概念的最早不自觉的应用。 1912年，玻恩和卡门发表了题为“论空间晶格的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该以晶格波的形式存在。首次提出晶格动力学。晶格动力学可以精确求解晶格振动的色散关系（频率－波矢关系），即求出固体中原子振动的波动形式解。 1912年，德拜意识到爱因斯坦提出的比热容公式在极低温度下与固体比热容的实验值不符合，是因为没有考虑到晶格振动的频率不是唯一的。因此他通过简化玻恩卡门的晶格动力学理论，得到近似的晶格振动的频率分布，得到与非磁性绝缘体的低温比热容实验值更加符合的比热容公式。 1920－1925年，晶格动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、电导、光学和x射线等方面。随着固体物理发展，人们将晶格振动波的能量子称为声子。晶格振动波和声子是固体中原子振动的波粒二象性的两个表示。 1950年，激光、x射线及中子的散射实验中，人们发现有频率偏移，漫散射及固定的能量损失，证明晶体中有具备特定能量的原子运动。其中用中子衍射是最精确的确定声子能谱或晶格色散关系的实验方法。 晶体中原子振动具有波粒二象性。原子振动的波动形式就是晶格振动波，可以看成是一种机械波。原子振动的粒子形式就是声子，声子是解释固体热性质、电性质的关键之一，可以看成是固体中的一种元激发或激发子，不是真的基本粒子。声子和电子的散射，对解释固体电阻特别是超导体的电阻起关键作用。 3－2 一维单原子链 1. 一维单原子链的振动 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a，原子质量为m。 第n个原子 第n-2个原子 第n-1个原子 第n+1个原子 第n+2个原子 a Xn-2 Xn-1 Xn Xn+1 Xn+2 用xn和xk分别表示序号为n和k的原子在t时刻偏离平衡位置的位移，用xnk= xn-xk表示在t时刻第n个和第k个原子的相对位移。 第n个原子 第n-2个原子 第n-1个原子 第n+1个原子 第n+2个原子 a Xn-2 Xn-1 Xn Xn+1 Xn+2 (2)振动方程和解 平衡时，第k个原子与第n个原子相距 为两个原子间的互作用势能，平衡时为 ， t时刻为 nk x 第 n个与第 k个原子间的相互作用力: 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（?r）二次方以上的高次项，只保留到(?r)2项---简谐近似。 (忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。) 得: 弹性恢复力系数 原子的振动方程: 只考虑最近邻原子间的相互作用，且恢复力系数相等： 给出试探解： 原子都以同一频率?，同一振幅A振动,相邻原子间的位相差为aq。晶格中各个原子间的振动相互间都存在着固定的位相关系,即原子的振动形成了波，这种波称为格波。 色散关系 (晶格振动谱) 将试探解代入振动方程得振动频率: 推导略 给出试探解: 由色散关系式可画图如下: 2.色散关系 ?是波矢q的周期性函数,且?(-q)= ?(q)。 ? 0 ?m 且 故取 简约布里渊区 且 q的物理意义： （介质波） q是波矢 3. 玻恩---卡门周期性边界条件及波矢q的取值 (1)玻恩---卡门周期性边界条件 设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞的个数 ）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，由玻恩---卡门周期性边界条件: 对于一维布拉维晶格(原胞标数与原子标数相同): 整数 (2)波矢q的取值 (共N个值) 波矢 也只能取N个不同的值。 晶格振动波矢只能取分立的值 波矢的数目(个数)=晶体原胞的数目 4. 长波极限: 由连续介质波的传播速度： 在长波近似的情况下，晶体可视为连续介质，格波可视为弹性波。 例1.求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为m，恢复力常数为?(只考虑近邻原子间的相互作用)。 由玻恩---卡门周期性边界条件: 解:设最近邻原子间的恢复力系数为?，则: 将试探解代入振动方程得色散关系: S为整数 模型 运动方程 试探解