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控制系统的动态数学模型 控制系统的动态数学模型 六、系统信号流图及梅逊公式 ●信号流图起源于梅逊（S. J. MASON）利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。 （1）节点：标志系统的（输入、输出和中间变量），变量值是所有输入到该节点的信号的代数和，用“ο”表示。 （2）支路：用有向线段表示，其线上标明增益，经支路传递的信号应乘以支路增益。 ●组成 控制系统的动态数学模型 ●说明 （1）节点变量（信号）等于所有流向该节点的信号之代数和，与流出无关，而从同一节点流出的信号均等于该节点变量，同方向传递的信号不能重复计算。 （2）支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 （3）信号在支路上沿箭头方向单向传递。 （4）在混合节点上，增加一条具有单位增益的输出支路，可以从信号流图中分离出系统变量。即变混合节点为阱节点，分离前后的变量相同。 ●信号流图的建立 （1）直接由系统的工作原理图进行绘制。 （2）根据系统的微分方程（组）或其变换方程（组）进行绘制。 系统的微分方程组为 例：求RC电路的信号流图 在零初始条件下进行拉氏变换得： 控制系统的动态数学模型 （3）由方框图演变得到。 流图与方框图的比较 控制系统的动态数学模型 例: x2=a12x1+a32x3 x3=a13x1+a23x2+a33x3 x4=a24x2+a34x3 x1 输入节点 x4 输出节点 x2，x3中间节点（混合节点） 控制系统的动态数学模型 名词术语 （1）源节点（输入节点）：只有输出没有输入，一般代表系统的输入变量。 （2）阱节点（输出节点）：只有输入没有输出，一般代表系统的输出变量。 控制系统的动态数学模型 （3）混合节点：既有输入又有输出的节点。 （4）前向通路：信号从输入节点到输出节点的传递中，每个节点只通过一次的通路。 （5）回路：起点与终点在同一节点，且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。 控制系统的动态数学模型 （6）不接触回路：回路之间没有公共节点。 控制系统的动态数学模型 梅逊公式 ?－ 流图的特征式 P－系统总传递函数 n－从输入节点到输出节点的前向通道总数 Pk －第k条前向通路的传递函数 ?La－所有单个回路增益之和 ?LbLc－所有单个回路中，每次取其中不同的两个不接触回路增益乘积之和 ?LdLfLe－所有回路中，每次取其中不同的三个互不接触回路增益乘积之和 ?k －余因子式，即在?中令与第k条前向通路相接触的回路增益为零所得到的?值 求图a所示信号流图的总增益 控制系统的动态数学模型 控制系统的动态数学模型 控制系统的动态数学模型 例：求所示流程图的总增益X5/X1 利用Mason’s gain formula 求图所示系统的闭环传递函数。 解：前向通路有3个 4个单独回路 互不接触 控制系统的动态数学模型 控制系统的动态数学模型 传递函数列写大致步骤 方法一： √列写系统的微分方程 √消去中间变量 √在零初始条件下取拉氏变换 √求输出与输入拉氏变换之比 方法二： √列写系统中各元件的微分方程 √在零初始条件下求拉氏变换 √整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量 √整理成传递函数的形式 控制系统的动态数学模型 典型环节的传递函数 ●环节：具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。 ●典型环节有比例环节、积分环节、微分环节、惯性环节、一阶微分环节、二阶振荡环节等。 控制系统的动态数学模型 ●典型环节传递函数 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 √比例环节(Proportional Element) 微分方程为： 传递函数为： 齿轮传动副 运算放大器 控制系统的动态数学模型 控制系统的动态数学模型 √积分环节（Integral Element） 微分方程为： 传递函数为： 特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 常见的积分环节： 控制系统的动态数学模型 √微分环节（Dreivative Element） 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 微分方程为： 传递函数为： 理想微分环节 在物理系统中微分环节很难独立存在，经常和其他环节一起出现。 控制系统的动态数学模型 无负载 传递函数 控制系统的动态数学模型 √惯性环节（Inertrial Element） 特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，输出无振荡。 微分方程为： 传递函数为： 控制系统的动态数学模型 RC电路 弹簧-阻尼器 控制系统的动态数学模型 √振荡环节（oscillating Element） 式中，ξ为振荡环节的阻尼比（阻尼系数） T＝1/?n为振