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第三章 分离变量法(2) 分离变量法： n个变量的齐次导热问题。 假定其解是n个只含一个变量的函数的乘积： 使导热偏微分方程分离成n个常微分方程，并在分离过程中引进n-1个分离常数。其中n-1个分离函数的常微分方程与相应的边界条件构成导热问题的特征值问题。 求得到n个分离函数构成原问题的基本解，然后根据线性叠加原理，用全部分离解叠加成原导热问题的完全解。 最后，根据特征函数的正交性质，确定出叠加过程中所引进的未知常数，得到导热问题最终解。 非稳态导热问题：齐次微分方程 齐次边界条件 不含内热源的稳态导热问题: 齐次微分方程 只有一个非齐次边界条件 对于超过一个是非齐次边界条件的多维、不含内热源的稳态导热问题 ——将原问题分解成若干个简单问题，每个简单问题只包含一个非齐次边界条件，然后进行求解。 对于一个非齐次边界条件不止一个的稳态导热问题，其数学描述如下： 在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s 这个导热问题可分解为s个有关 的简单问题： 在区域R内 在边界Si上 §3.3不含内热源的多维稳态导热问题 ——含多个非齐次边界条件 §3.4含有内热源的稳态导热 在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s 将非齐次方程的一般解表示成为齐次方程的一般解 与一个特解 之和，即 函数 满足： 函数 满足： 在区域R内 特解的形式取决于热源项qV(x,y,z)的形式。对于简单的函数形式，其特解如下： 物理问题： q0 h h Tf = 0 a b y x 数学描述： 0＜x＜a，0yb x＝0 x = a y = 0 y＝b 解：设 查表： 代入原方程： 0＜x＜a，0yb x＝0 x = a y = 0 y＝b A 0 §3.5 一般问题的分离变量法 在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s 在区域R内，τ=0 含有内热源的、多非齐次边界条件的非稳态导热 把原问题分解成s+2个可以直接用分离变量法求解的简单问题。 一组按温度T0,j(r)(j=0,1,2,…,s)定义的稳态导热问题 在区域R内 ，( j=0,1,2,…,s ) 在边界Si上 ，i=1，2，…，s 在区域R内 在边界Si上 ，i=1，2，…，s 在区域R内，τ=0 一个以温度T s+1(r,τ)定义的齐次飞稳态导热问题 原问题的解： 例：物理问题 一无限大平板 L-≤x≤L,初始温度为ti，时间τ＞0时，x=±L时边界维持常温tw (tw ≠ ti)，求平板内温度分布。 O x L 绝热 t (x,τ) §3.6 乘 积解 多维齐次导热问题的解可写成简单一维问题的解。 条件：物体内初始温度分布可表示成单个空间变量的函数： F(x,y)=F1(x)F2(y) 或 F(x,y,z)=F1(x)F2(y)F3(z) 二维 导热问题为例： 0＜x＜a，0yb，τ＞0 x＝0 ， τ＞0 x=a τ＞0 y=0， τ＞0 y＝b τ＞0 0≤x≤a，0≤x≤b，τ＝ 0 x y O 二维 导热问题为例： 0＜x＜a，1τ＞0 x＝0 ， τ＞0 x=a τ＞0 y=0， τ＞0 y＝b τ＞0 0≤x≤a，τ＝ 0 0yb，τ＞0 0≤y≤b，τ＝ 0 §3.7 杜哈美尔定理 ——把非齐次部分与时间有关的线性导热问题的解和同一导热问题在非齐次部分与时间无关的联系起来。 §3.7 杜哈美尔定理 一般情况： 区域R内，τ0 边界Si处，τ0 区域R内，τ=0 辅助问题： 区域R内，τ0 边界Si处，τ0 区域R内，τ=0 §3.7 杜哈美尔定理 辅助问题： 区域R内，τ0 边界Si