311 方程的根及函数的零点.ppt

3.1　函数与方程 3．1.1　方程的根及函数的零点 阅读教材第86~88页，并回答问题： （1）函数零点的概念； （2）如何求函数的零点？ （3）零点与函数图象的关系怎样？ 讲 授 新 课 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. 函数零点的概念： 判别式 方程 ax2＋bx＋c＝0 的根 函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点 ?＞0 ?＝0 ?＜0 二次函数的零点如何判定? 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式?＝b2－4ac. 两不相等实根 两个零点 两相等实根 一个零点 没有实根 0个零点 方程f (x)＝0有实数根 ?函数y＝f (x)的图象与x轴有交点 ?函数y＝f (x)有零点 探究2 零点与函数图象的关系怎样？ 探究1 如何求函数的零点？ 根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根．因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根． 说明： 例1.求下列函数的零点： 解： （1）令 则 即 得 故函数 的零点为－1，1，2. （2）令 则 即 故函数 的零点为3. 【评析】 (1)函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程f(x)=0根的个数就是函数y=f(x)的零点的个数，亦即函数y=f(x)的图像与x轴交点的个数. (2)求函数y=f(x)的零点就是求方程f(x)=0的根；反之，求方程f(x)=0的根就是求函数y=f(x)的零点. 探究三 观察二次函数 f ( x ) ＝ x 2 ― 2 x ― 3 的图象， 如右图，我们发现函数 f ( x ) ＝ x 2 ― 2 x ― 3 在 区间 [ ― 2, 1] 上有零点 . 计算 f ( ― 2) f (1) 的 乘积 ， 你能发现这个乘积有什么 特点？在区间 [2, 4] 上是否 也具有这种特点呢？ x y O 1 2 3 4 3 1 2 4 －1 －2 －2 －1 －3 －4 可以发现， 函数 在区间(－2 , 1) 内有零点 它是方程 的一个根. 同样地， 函数 在(2 , 4) 内有零点 它是方程： 的另一个根. x y O 1 2 3 4 3 1 2 4 －1 －2 －2 －1 －3 －4 结 论：(零 点 存 在 定 理) 如果函数y＝f(x)在区间[a, b]上的 图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区 间(a, b)内有零点，即存在c∈(a, b)， 使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0 的根. 1．函数的零点是一个点吗？ 提示：函数的零点并不是指一个点，而是一个自变量x的值，它使得函数值y＝f(x)＝0，即方程f(x)＝0的根． 2．在(a，b)上有零点,一定有f(a)·f(b)0吗？ 提示：不一定．这必须根据函数在(a，b)上 的单调变化，如y＝x2在(－1,1)内有零点，但 f(－1)·f(1)0. 回答问题： 3.连续函数y＝f(x)在区间[a，b]上有 f(a)·f(b)＜0,说明f(x)在(a，b)上有唯 一零点? 提示：不一定．如图： x y O 若f(x)的图象在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)0， 则f(x)在(a，b)上必有零点；若f(a)·f(b)0， 则f(x)在(a，b)上不一定没有零点． (2010年高考天津卷)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1)　　B．(－1,0) 例2. C．(0,1) D．(1,2) 解： ∵ f(x)＝2x＋3x在R上为增函数． 且 f(－2)＝2－2－6＜0， f(－1)＝2－1－3＜0， f(0)＝20＝1＞0， f(1)＝2＋3＝5＞0， f(2)＝22＋6＞0， ∴ f(－1)f(0)＜0， 故函数f(x)在(－1,0)上有零点． B 【点拨】说明函数的单调性,也就说明了函数零点的唯一性．