36 导数在经济中的应用.ppt

* 3.6 导数在经济中的应用 3.6.1 边际分析 定义3.6.1 设函数 可导， 称导数 为 的边际函数 . 函数 在 点的导数 称为 在 点的边际函数值. 设在 点处，x 从 x0改变一个单位, y 的相应改变量变为 当 x 改变的“单位”很小或 x 的“一个单位”与 x 值相比很小时, 则有 这表明，边际函数值 近似等于函数 在 处当 x 产生 一个单位的改变时，引起的相应函数改变量. 解 由于 例1 设函数 试求函数在点 的边际函数值. 所以，在点 的边际函数值为 它表示在 处当 x 改变一个单位时， y 近似改变20个单位. 1. 边际成本 设产品的总成本函数为 其中 Q 为产量，则生产 Q 单位 产品的边际成本为 在经济学中， 解释为当生产水平达到 Q 个单位前最后增加的 那个单位产品所增加的成本或在生产 Q 单位生产水平上再增加 一个单位产品时成本的增加量. 平均成本函数为 求边际成本函数，并解释其经济意义. 例2 已知某商品的总成本函数为 解 边际成本函数为 边际成本函数为常数，说明在产量为任何水平时，每增加一个 单位产品，总成本增加 求：(1)边际成本函数； (2)当 Q=50 时的总成本、平均成本、 例3 设某商品的成本函数为 解 (1)边际成本函数为 边际成本，并解释后者的经济意义. (2)当 Q=50 时，总成本为 平均成本为 边际成本为 这表示生产第50个或51个单位产品时所花费的成本为74. 2. 边际收益 设产品的总收益函数为 其中 Q 为销售量，则销售 Q 个 单位产品的边际收益为 在经济学中， 解释为当销售水平达到 Q 个单位时，多销售 一个单位产品或少销售一个单位产品所增加或减少的收益. 平均收益函数为 例4 设某产品的需求函数为 成本函数为 解 总收益函数为 试求产量 Q=10 时的边际收益与边际成本. 所以，边际收益函数为 于是 边际成本函数为 于是 即产量 Q=10 时的边际收益为80，边际成本为71. 这表明，当产量为10 时，再增加一单位产量，收益将增加 80， 成本将增加 71，这时增加产量是有利的. 等于边际成本的产量. 一般地，如果边际收益大于边际成本，即 则增加 产量是有利的. 反之, 如果边际收益小于边际成本, 即 则增加产量就不合算了. 由此可知，企业的最优产量是边际收益 3. 边际利润 设生产某产品的总利润函数为 Q 为产量，则生产 Q 个 单位产品的边际利润为 在经济学中， 解释为当生产水平达到 Q 个单位时，再增加 一个单位产品所增加或减少的利润. 平均利润函数为 设总收益函数为 总成本函数为 则总利润函数为 于是边际利润函数为 例5 某厂每周生产Q (单位:百件), 总成本C (单位:万元)是产量Q 解 总利润函数为 试写出利润函数及边际利润为零的每周产量. 的函数 若每百件产品销售价格为40万元， 边际利润函数为 令 得 (百件). 即每周产量为14百件时,边际利润为零.此时 到100, 则 x 与y 的绝对改变量为 3.6.2 弹性分析 1. 弹性 设函数 ， 当自变量 x 从 点改变到 时( 称为 自变量 x 的绝对改变量)， 函数值 从 改变到 称为 y 的绝对改变量)， ( 则 称为自变量 x 在 点的相对改变量， 为 y 的相对改变量. 例1 设函数 当自变量 x 从8 增加到 10 时, 相应 y 从64 增加 相对改变量为 这表明当 x 从8 增加到10时, x 增加了25%，y 相应增加了56.25%. 这表明在区间(8,10)内,从x= 8 时起, x 增加1% , y 相应增加2.25%. 定义3.6.2 设函数 在 点可导， y 的相对改变量 与自变量的相对改变量 之比 称为函数 在点 与 两点间的弹性( 或称为点 与 之间的弧弹性 ). 而 称为函数 在 点的弹性( 或称为点弹性)，记作 或 由定义可知