3本章小结和综合练习.ppt

* 本章小结 1. 知识要点 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 (1) 理解罗尔定理、拉格朗日定理及推论，了解柯西定理、泰勒 曲线的凹凸性 拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最值 边际分析与弹性分析 导数在经济中的应用 2. 学习要求 (2) 会用洛必达法则求未定式极限． 定理，掌握这四个定理的简单应用． (3) 掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值和最值的概念， 难点： 掌握函数极值、最值的求法及应用． (4) 会判断函数曲线的凹凸性，会求曲线的拐点和渐近线． (5) 会用微分法描绘函数的图形． (6) 掌握导数在经济中的应用----边际分析与弹性分析. 3. 重点与难点 微分中值定理、 重点： 导数的应用（求极限；求极值、最值；单调性的判定； 有关证明问题（不等式、恒等式、中值点 的存在性、方程根的存在性、唯一性等） 凸凹性的判定及拐点的求法；边际分析与弹性分析） 解 答案为 综合练习 （一）关于中值定理 例1 设 在 上连续，在 内可导， 则至少 存在一点 使( )成立. 例2 不用求出函数 的导数，说明方程 有几个实根，并指出它们所在的区间. 解 因函数 在[1,2]、[2,3]、[3,4]上分别 连续,在(1,2)、(2,3)、(3,4)内分别可导, 且 故函数 在[1,2]、[2,3]、[3,4]上分别满足罗尔定理条件， 由罗尔定理知在(1,2)、(2,3)、(3,4)内分别至少存在 使得 即 至少有三个不同实根 又 是 x 的三次多项式，则 最多有三个实根，所以 有三个不同实根，分别位于(1,2)、(2,3)、(3,4)内. 例3 设 在 上连续，在 内可导，且 证明： 存在一点 使 证 令 则 在 上连续，在 内可导，且 由罗尔定理知至少存在一点 使得 即 例4 若函数 在 内具有二阶导数，且 证明：在 至少存在一点 使得 函数 在 、 上分别满足罗尔定理条件，则存在 证 使得 在 上满足 罗尔定理条件，则存在 使得 于是 条件，则存在 使得 例5 设 证明 (1)若函数 在 上连续，在 内可导，且当 时 则 (2)若函数 在 上连续, 在 内可导, 且当 时 则 证 (1)任给 则 在 上满足拉格朗日定理 同理可证(2). 例6 证明恒等式 又 证 令 则当 时， 由拉格朗日定理的推论知，当 时， 常数). 则 则当 时， 又 所以， 证 设 例7 证明：当 时， 显然 在 上满足拉格朗日定理条件， 所以有 即 由 则 即 （二）关于洛必达法则求极限 解 答案为 例1 下列求极限问题不能用洛必达法则的是( ). 因为 不存在 不存在 洛必达法则的第三个条件不满足，故不能用洛必达法则求极限. 解 例2 求下列极限. 所以， 例3 求极限 解 （三）关于函数的几何性态 例1 证明方程 只有一个正根. 证 令 则 在[0,1]上连续,且 由零点定理知至少存在一点 使得 即方程 至少有一个正根. 下证唯一性.又由于 则 在 内单调递增， 因而方程 至多有一个正根. 所以方程 只有一个正根. 注 方程根的存在性多用零点定理或微分中值定理证明； 方程根的唯一性多用单调性理论证明. 解 答案为 例2 函数 在点