3行列式按行按列展开.ppt

定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即 行列式按行（列）展开法则 例3.4 依次记作Mij和Aij? 求A11?A12?A13?A14及M11?M21?M31?M41? 或 解 c2?c1 r4?r3 r3?r1 按第三 列展开 按第三 行展开 ?4? 依次记作Mij和Aij? 求A11?A12?A13?A14及M11?M21?M31?M41? 例3.4 M11?M21?M31?M41 ?A11?A21?A31?A41 ?0? r4?r3 按第四 行展开 r1?2r3 解 依次记作Mij和Aij? 求A11?A12?A13?A14及M11?M21?M31?M41? 例3.4 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 小结 作业题 P26 ：2，5（3），7 求第一行各元素的代数余子式之和 思考题 * * 数k乘 行列式? 等于数k乘此行列式的某一行(列) ? 行列式D与它的转置行列式DT相等? 某一行(列) 的公因子可提到行列式符号的外面? 互换行列式的两行(列) ? 行列式变号? 行列式有两行(列)完全相同? 则此行列式等于零? 行列式中有两行(列)元素成比例? 则行列式等于零. 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和? 则行列式等于两个行列式之和? 把行列式的某一行(列)的倍数，加到另一行(列)对应的元素上去? 行列式不变? 复习回顾 ：行列式性质 性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和? 则行列式等于两个行列式之和? 即 性质5引申若行列式的某一行(列)的元素都是n个数之和? 则行列式等于n个行列式之和? 计算行列式常用方法： 　　利用运算ri?krj (或者ci?kcj)把行列式等价地转化为三角形行列式，从而得行列式的值． 行列式的计算 化三角形法 方法分析 将行列式化为三角形是计算行列式的基本方法，我们感到低阶行列式更容易计算，并且当阶数较高时，运算过程中每次写那么多0也很麻烦． 自然地有想法，能否将高阶行列式降阶？ 也就是说，用低阶的行列式去表示高阶行列式． 三阶行列式的结构再思考1 §1.3 行列式按行(列)展开 一、余子式与代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则 叫做元素 aij 的 代数余子式． 例如 一、余子式与代数余子式 在n阶行列式D?det(aij)中? 把元素 aij 所在的 第 i 行和第 j 列划去后? 剩下来的n?1阶行列式, 叫做元素aij的余子式? 记作Mij ． 注1: 行列式的每个元素分别对应着一个余子式 与一个代数余子式. 注2: 行列式的某个元素的余子式与代数余子式, 只与该元素的位置有关,与该元素的大小无关. 三阶行列式的结构再思考3 三阶行列式的结构再思考3 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即 展开定理说明： n阶行列式可表示为n个特殊的n-1阶行列式的代数和的形式； 反过来，这种代数和的形式也可理解为一个n阶行列式。 二、行列式按行（列）展开法则 或 二、行列式按行（列）展开法则 证 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即 二、行列式按行（列）展开法则 ? 引理 在n阶行列式D中? 如果第 i 行元素除aij外都为零? 那么这行列式等于aij与它的代数余子式Aij的乘积? 即 D?aij?Aij ? 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即 二、行列式按行（列）展开法则 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 或 证 =0 第 s 行 第 i 行 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 同理 =0 第 s 行 第 i 行 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与它对应的代数余子式乘积之和，即 二、行列式按行（列）展开法则 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 或 关于代数余子式的重要性质 2 ?1 ?4 3 ?1 1 ?3 3 1 3 2 ?1 1 3 2 ?1 0 16 7 ?2 0 1 2 3 ?1 2 1 ?1 0 0 ?10 8 0 1 2 3 ?1 2 1