51 多元函数的概念.ppt

上页 下页 返回 第五章 多元函数的微分法及其应用 §5.1 多元函数的概念 §5.2 二元函数的偏导数与全微分 §5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则 §5.4 偏导数在几何上的应用 §5.5 多元函数的极值 §5.6 方向导数与梯度 §5.1 多元函数的概念 一、多元函数及其定义域 二、多元函数的几何表示 三、二元函数的极限 四、二元函数的连续性 定义1 设D是平面上的一个点集，如果对于 每个点 有确定的值和它对应，则称z是变量 x, y的二元函数 (或点p的函数)记为 一、多元函数及其定义域 §5.1 多元函数的概念 ，变量z按照一定的对应法则 f总 点集D称为该函数的定义域，x, y称为自变量， z称 为因变量. 数集 称为该函 数的值域. 类似地，可以定义三元函数 以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数. 的定 约定 用算式表达的二元函数 义域，是使该算式有意义的自变量的全体所确定的平面点集. 例如,二元函数 定义域为 圆域 图形为中心在原点的上半球面. §5.1 多元函数的概念 §5.1 多元函数的概念 二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线 所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域 的边界. 不包括边界的区域叫做开区域. 连同边界在内的区域叫做闭区域. 如果区域可延伸到无限远，称这区域是无界的. 如果区域总可被包围在一个以原点为中心而半径适 当大的圆内，则称此区域是有界的. 注 解 要使该算式表示的二元函数有意义，x, y必需满足： §5.1 多元函数的概念 例1 求函数 的定义域. 这是一个无界区域，见图的阴影部分. 于是该函数的定义域为 §5.1 多元函数的概念 例2 求二元函数 解 显然要使得上式有意义， 的定义域. 必须满足 所以该函数的定义域为 §5.1 多元函数的概念 解 此函数的定义域满足不等式 这是一个以原点为圆心,以a为半径的圆且包括 圆周.它是一个有界闭区域. 例3 求函数 的定义域. 所以该函数的定义域为 §5.1 多元函数的概念 邻域: 记为: ， 在空间中,点 的 邻域 为 §5.1 多元函数的概念 二、二元函数的几何表示 二元函数的图形通常是一张曲面.这就是二元函数的几何表示. 这个点集称为二元函数的图形. §5.1 多元函数的概念 三、二元函数的极限 定义2 设函数 在点 的某个 邻域内（可以不包括点 ）有定义. 如果 动点 以任何方式趋于点 （即 时，函数 都无限趋于某 一常数A，那么把常数A叫做函数 当 时的极限，记作： §5.1 多元函数的概念 定义3 设函数 在点 的某个 邻域内（可以不包括点 ）有定义，A为 某一常数，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ，使得对于适合不等式 的一切点 ，都有不等式 描述： §5.1 多元函数的概念 时的极限，记作： （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 成立，那么把常数A叫做函数 当 注 §5.1 多元函数的概念 例4 设 求证： 证 故 当 时, 总有 要证 §5.1 多元函数的概念 例5 设函数 ，求 解 由两边夹逼准则得 §5.1 多元函数的概念 所谓二重极限存在, 是指 以任何方式趋于 时, 函数都以A为极限. 因此, 如果 以某种特殊方式(例如沿着一条直线)趋于 时, 即使函数无限接近于某一确定值, 我们还不能由此断定函数的极限存在. 但是反过来, 如果当 以不同方式趋于 时, 函数趋于不同的值, 那么就可以断定函数的极限不存在. 注 §5.1 多元函数的概念 则有 k 值不同极限不同 ! 例6 讨论函数 的极限. 在点 解 设 沿直线 y = k x 趋于点 , 在 点极限不存在 . 故 §5.1 多元函数的概念 由此得到确定二元函数极限不存在的方法： §5.1 多元函数的概念 四、二元函数的连续性 定义4 若函数 在点 及其附 近有定义，且 则称函数 在点 处连续. 否则， 称函数 在点 处间断. 如果函数 在平面区域D上各点处都 连续， 就称函数 在区域D上连续. 或者说 是区域D上的连续函数. §5.1 多元函数的概念 例7 讨论函数 在点(0,0)处的连续性. 解 故函数在(0,0)处连续． 由例4知 §5.1 多元函数的概念 注 ① 一元函数的运算法则可推广到多元函数