52 运算及其性质.ppt

5.2 运算及其性质 二元运算 1、运算封闭性（定义5-2.1 ）： 若?x，y∈A， 有x * y∈A， 称*在A上是封闭的。 例： A={x｜x=2n，n∈N}，问A，x运算封闭否， A，+，A，/呢？ 解：?2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （ｒ＋ｓ∈Ｎ）, ∴A，x运算封闭。 又：2，4∈A，2+4?A，∴A，+运算不封闭。 2，4∈A，2/4?A， ∴A，/运算不封闭。 结合律 定义5-2.3 已知A，*，若?x，y，z∈A， 有x*（y*z）=（x*y）*z，称*满足结合律。 例：A，*，若?a，b∈A，有a*b=b。 证明：*满足结合律 证：?a，b，c∈A， a*（b*c）=a*c=c ( a*b）*c=b*c=c ∴a*（b*c）=（a*b）*c 　　 ∴　*满足结合律。 ＃ 交换律 定义5-2.2 已知A，*，若?x，y∈A，有 x*y=y*x， 称*满足交换律。 例：设有理数集，*,*定义如下： a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？ 证：∵?a，b∈A， a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a ∴*满足交换律。 ＃ 分配律 定义5-2.4 设A，*，△，若?x，y，z∈A有: x*(y△z)=（x*y）△（x*z） (y△z)*x=(y*x)△(z*x) ， 称运算*对于运算△可分配。 分配律 ?①? 证明：x△(y*z)=(x△y)*(x△z) 证：当x=?：x△(y*z)=? ; (x△y)*(x△z)=? 　当x=?：x△(y*z)=y*z ; (x△y)*(x△z)=y*z。 ＃ 注: 若找不到规律, 则枚举所有情形进行验证。 ②、运算*对运算△不可分配（举一个反例即可） 证：∵?*（?△?）=?*?=? （?*?）△（?*?）=?△?=? ＃ 吸收律 定义5-2.5 设A，*，△，若?x，y∈A有: x*(x △ y)=x ， x △(x * y) =x， 分别称运算*和运算 △满足吸收律。 例:N为自然数集,?x,y∈N，x*y=max{x，y}, x△y=min{x，y} 试证：*和△满足吸收律。 证明：?x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ， x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x ， ∴ * 和△满足吸收律。 ＃ 等幂律 定义5-2.6 已知〈A，*〉，若?x∈A，x*x=x 则称*满足等幂律。 例：已知集合s,〈?（s）,∪,∩〉。 ? A，B∈ ?（s）， A∪A=A, A∩A=A A∩（A ∪B）=A, A∪（A∩B）=A 则∪和∩满足吸收律，等幂律。 幺元（单位元）和零元 定义5-2.7，5-2.8设*是s上二元运算，er，eI，?r，?ｌ，e，? ?s ，有 ①.若?x?s，有el*x=x，称el为运算*的左幺元。 若?x?s，有x*er=x，称er为运算*的右幺元 。 ②.若?x?s，有?l*x=?l ，称?l为运算*的左零元。 若?x?s，有x*?r=?r，称?r为运算*的右零元。 ③.?若?x?s，有