62 二重积分的计算法.ppt

6.2 二重积分的计算法 内容提要 利用直角坐标系和极坐标系计算二重积分 教学要求 1. 掌握直角坐标系下二重积分的计算； 2. 掌握极坐标系下二重积分的计算。 预备知识： (1) 曲顶柱体体积： (2 ) 在直角坐标下， x 二重积分 (3)平行截面面积为已知的立体的体积 如果积分区域为 （1）X－型区域 1.对积分区域的讨论： X-型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 6.2.1.直角坐标系下二重积分的计算 如果积分区域为 （2）Y－型区域 Y-型区域的特点： 穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 可以用平行于坐标轴的直线 (3) 一般区域： 把 D 分解成有限个 x--型区域或 Y--型区域 2.二重积分的计算公式： 通常写成： 如果积分区域为 Y--型： 类似的有： 通常写成： 计算二重积分需要注意以下几点： (1) 在计算二重积分时，首先根据已知条件确 定积分区域 D 是 X--型还是 Y--型区域，由此确定将 二重积分化为先 y 后 x 的二次积分还是先 x 后 y 的 二次积分。 (2) 当积分区域 D 既是 X--型区域，又是 Y--型 区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积 分顺序： 先 y 后 x 先 x 后 y (3) 如果用平行于坐标轴的直线与积分区域 D 的 则必须分割区域 D 根据二重积分的性质 交线多于两个交点， 如图 解 于是 于是 例6.2 解 于是 于是 D 为 Y--型区域 注: 于是 说明： 当积分区域 D 既是 X--型区域，又是 Y--型 区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积 分顺序： 解 积分区域为 X--型区域 （如图） 故 原式 转化积分区域为 Y--型区域 改变积分 的次序. 例 6.2.2 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。 1 直系与极系下的二重积分关系（如图） （1）面积元素变换为极系下： （2）二重积分转换公式： （3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”： 2 极系下的二重积分化为二次积分 用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限 任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 （1）区域如图1 具体地（如图） 图1 （2）区域如图2 图2 （3）区域如图3 图3 （4）区域如图4 图4 解 例6.5? 解 例6.6 解 * *