62几类重要随机过程.ppt

3.2几类重要的随机过程 一.独立增量过程 设随机过程T {X(t)， }， 。若对任意正整数 及 ，随机过程的增量 是相互独立的随机变量，则称T {X(t)， }为独立增量过程. 二.高斯过程 设随机过程T {X(t)， }， 。若对任意正整数 及 ，随机变量 的联合概 率分布为n维正态分布，则称T {X(t)， }为高斯过程. 三.维纳过程 维纳过程是布朗运动的数学模型。英国植物学家布朗在显微镜下观察漂浮在液面上的微小粒子，发现它们不断地进行 杂乱无章的运动，这种现象后来称为布朗运动。 根据爱因斯坦1905年提出的理论，微粒的这种运动是由于受到大量的随机的相互独立的分子碰撞的结果。 由中心极限定理可知，位移W(t)-W(s)为正态分布。其次，由于微粒的运动是由液体分子不规则碰撞而引起。因此，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向是相互独立的，即W(t)具有独立的增量。另外，液面处于平静状态说明粒子在一段时间上位移的概率分布只依赖于这段时间的长度，而与观察的起始时刻无关，即W(t+h)-W(s+h) 与W(t)-W(s)具有相同的分布。 维纳过程的特征： (1): W(t)是均匀独立增量。即W(t) 是独立增量过程，并且W(t+h)-W(s+h) 与W(t)-W(s)具有相同的分布。 (2): W(t) 服从正态分布。 (3): E[W(t)]=0. (4): P{W(0) =0}=1. 四.泊松过程 设随机过程{X(t)， }， ,若其状态只取非负整数值,并且 (2) X(t)是均匀独立增量过程; 则称X(t)为泊松过程. 3.3 马尔可夫过程 定义1 设随机序列{X(n), n N}满足下列两个条件(其中N为包 含有限或可列无穷个非负整数的集合)： (1) 对每一 ，X(n)只取非负整数值； (2) 对任意非负整数m,l,k及 以及 ，有 则称X(n)为马尔可夫链。 一、 马尔可夫链的定义 我们称条件概率 为马尔可夫链在时刻m处于状态i的条件下,在时刻m+k转移到状态j的转移概率 称P(m,k)为马尔可夫链的k步转移概率矩阵。 马尔可夫链的性质： 定理1 设 X(n)为马氏链，则对任意非负整数m,l,k有 记为矩阵的形式，有 证： “从X(m)=i 出发，时间k+l 转移到状态j ” 可分解为“从X(m)=i出发，先经过时间k转移到中间状态r (r=0,1,…), 再从r 经l 步转移到状态j ” 定理1 设 X(n)为马氏链，则对任意非负整数k及 有 二、 齐次马尔可夫链 定义2 设 X(n)为马氏链，如果它的转移概率矩阵P(m,1)与m 无关，记为P(1)，亦即对任意非负整数m，有 则称马尔可夫链X(n)是齐次的 (1) 马氏链X(n)是齐次的 (2) 如果马氏链X(n)是齐次的,则对任意k步转移概率 ,均可 由步转移概率决定. 对齐次马氏链X(n),记 则 例1 考虑贝努里试验,每次试验只有两种状态: 由于试验是独立的, .因此,在第k次试 验出现 的条件下,第 次出现 的条件概率与k无关且等 于 ,这说明贝努里试验构成一个齐次马氏链,并且有 例2 在两个吸引壁之间随机游动的模型—一个质点能处在数轴上1,2,…,s这s个点中的任一位置. 一旦该质点到达1或s处,就一直留在那里停止游动.如果在时刻t时该质点处i点处 ,那么,它在一个单位时间后转到i+1点处(向前)的概率为p(0p1), 转到i-1点处(向后)的概率为q, q=1-p. 规定该质点经过一个单位时间必须向前或向后游动且只能游动一步(在1和s处除外). 这样一个随机游动构成一个齐次马氏链X(n), 其中, X(n)表示时刻n质点的位置,相应的转移概率为 对于位置i(2≤ i ≤s-1),有