63 二重积分的应用.ppt

6.3 二重积分的应用 问题的提出 6.3.2.质心 6.3.3.转动惯量 小 结 内容提要 几何应用：曲面的面积 物理应用：平面薄片的质心和转动惯量 教学要求 理解二重积分的几何应用与物理应用 定积分的元素法 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； 2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任意一个小区间并记作 [x,x+dx],求出相应于这个小区间的部分量△U的近似值。 如果△U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与dx的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作dU,即 dU=f(x)dx; 3)以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，得 这就是所求量U的积分表达式——这种方法通常叫做元素法. 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域 时，相应地部分量可近似地表示为 的形式，其中 在 内．这个 称为所求量U的元素，记为 ，所求量的积分表达式为 和定积分一样，重积分在几何、物理、力学 等方面有许多应用，解决这类问题的关键是建立被积表达式。我们仍采用定积分的元素法来处理这些应用问题。 一般说来，如果所求量对于区域具有可加性， 总可采用“分割作近似求和取极限”的方法，便可将该量表示为在区域D上的重积分。 所谓“元素法”，就是在一个典型的小区域 上表示出其部分量的近似值 即求所求量 的微元素。于是所求量就可以表示为： 这就是所求量的积分表达式. １．设曲面的方程为： 如图， 6.3.1.曲面的面积 曲面S的面积元素 曲面面积公式为： 也可以写成： 当曲面的方程为： 曲面面积公式为： 当曲面的方程为： 曲面面积公式为： 同理可得 计算立体表面积 A 的一般过程： 则 2. 计算曲面面积元素： 例6.7 解 如图所示，薄片对两坐标轴的力矩元素分别为： 当薄片是均匀的，此时 所以薄片对两坐标轴的力矩分别为： 薄片的质心为： 例6.9 解 因为 设对x轴转动惯量为Ix 则 同理可得： 平面质量片关于坐标轴的转动惯量 如图所示 对y轴转动惯量为Iy： 例6.10 元素法 物理应用：物体的质心、转动惯量 几何应用：曲面的面积