拉姆齐模型试卷.doc

无限期界模型（拉姆齐模型） 一、问题的提出 在索洛模型中，储蓄率s被假定为外生参数，储蓄率的变动将影响稳态的人均消费和动态的人均消费水平。当时，与最优储蓄（相对应于最优资本存量和最优消费）相比会出现“过度储蓄”（即“过度积累”）的情况，而一个高于黄金率的储蓄率被证明是动态无效的。当时，只有在给定在当前消费与未来消费之间的权衡参数的条件下，才能判断增加储蓄率的合理性。 图示：s的变动对稳态和动态的人均消费的影响 c* cgold s低 sgold s高 s c 动态无效区 c cgold s上升 s下降 t 那么，储蓄率是如何决定的？必须引入消费者（家庭）行为来分析跨期预算约束条件下的消费和储蓄选择，即储蓄率的“内生化”。 二、模型假定 1．完全竞争市场结构 2．长生不老的不断扩展的家庭（有限寿命的个人和基于利他主义的代际转让） 3．家庭和个人完全同质 4．忽略资本的折旧 5．暂不考虑政府行为 在简单经济中，家庭与厂商之间的关系： 三、厂商行为 沿用新古典生产函数 根据欧拉定理， 其中，资本的边际产品为：（真实利率） 有效劳动的边际产品为：（工资率） 四、家庭行为 1.一些假定和符号 总人口为L，以速率n增长，； 家庭的个数为H，每个家庭有L/H个人； 每个家庭成员在每一时点上提供1单位劳动； 资本最初存量为K(0)，每个家庭初始资本存量为K(0)/H。 2. 家庭效用函数和即期效用函数 定义家庭效用函数（也称作“幸福函数”）为： 其中，C(t)为每个家庭成员的消费，为即期效用函数，为贴现率（越大表明与现期消费相比远期消费的价值就越低）。 注意：表示将第t期的消费的效用按照贴现到第0期，即，。 即期效用函数的形式为： ，， 该函数具有以下三个特点： 边际效用弹性不变，为。 定义边际效用弹性。 （2）跨期替代弹性不变，为1/，表示相对风险回避系数不变。 【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为： 由消费者均衡条件得： 代入得， 其中，（边际替代率） 图解： C2 MRS C1 可见，是射线比率的变化率，是切线斜率的变化率。 令时间1趋近于2，得到瞬时弹性（常数相对风险回避系数） 根据有： ，，则 例如：一个两期的效用函数为，可以证明（思考：为什么？）。 常数替代弹性意味着与C无关，因此在消费选择上没有不确定性。但决定了家庭在不同时期转换消费的愿望，越小，家庭越愿意接受消费较大的波动。 （3）边际效用为正；当1时，边际效用随C增加而增加，当1时，边际效用随C增加而减少。 （4）是为保证效用不发散（受到约束）。 3．考虑有效劳动的家庭效用函数和即期效用函数 考虑劳动增进型的技术进步,并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)，有： [注意：家庭总消费C(t)L(t)/H=c(t)A(t)L(t)/H] 代入即期效用函数得： 再代入家庭效用函数，得： 其中，，（收敛条件） 4．家庭的跨期预算约束 家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w，均为外生变量）。 定义，因此在0期投资的1单位产品在t期产生单位的产品，它说明在期间[0,t]上连续以复利计算利息的结果。为现值因子。当r不变为时，则R=t。（思考：如果r是变动的，平均r怎样表示？） 家庭t期的劳动收入为w(t) A(t)L(t)/H，消费支出是C(t)L(t)/H，则家庭的跨期预算约束为： 类似的，考虑劳动增进型的技术进步，并定义每单位有效劳动的平均消费为c(t)和每单位有效劳动的初始平均资本k(0)，有： C(t)= A(t)c(t) K(0)= k(0)A(0)L(0)/H 代入得： 再考虑有效劳动的增长，， 代入，并在两边消去A(0)L(0)/H，得： 5．横截面条件 利用家庭资本持有量的极限形式来表示预算约束（等价命题）。 已知 ，故 将积分改写成为极限形式，有： 定义第v期的家庭资本持有量的总和为： 右式第一项表示第v期的初始资本存量的贡献（非负），第二项表示两期之间的储蓄贡献（可正可负）。 整理有： 代入极限形式的预算约束得： ，表示家庭持有资产的现值的极限为非负。 由于 因此， 6．家庭的最优化问题 根据前面的推导已知 a. 家庭的最大化目标函数（幸福函数）： b．跨期预算约束： （均从有效劳动的人均情况来考虑） 因此可以构造拉格朗日函数：