巧用“拆分变式”妙解数学问题论文试卷.doc

巧用“拆分变式”妙解数学问题 广西陆川县中学 徐文才 [摘要]在解数学题时，总是把一个问题归入某一种类型，使它具备一定的条件，转化为一种特定的结构，从而加以解决的，在实施这一过程中，往往少不了“拆分”，根据问题特点，配合一定的拆分变形，常常使复杂问题简单化，隐形问题显形化，从而使问题关系明朗化。因此拆分的意识强不强，拆分的方法巧不巧，直接影响着解题的速度和质量。本文通过一些典型实例说明“拆分变式”在解题中的巧妙运用，并抓住例题的结构特征进行适当推广，来体现说明数学的开放性思维和创造性思维在数学解题中的魅力，以及数学思维的灵活性，“拆分变式”法的解题技巧。 [关键词]　　数学　　拆分　　　解题　 所谓“拆分变式”就是把一个数（或式子）分成若干个数（或式子）的和，差或乘积的形式。“拆分变式”在解题中有着许多重要的运用，它的变化无穷，若我们能掌握其中之奥妙，解起题来将会游刃有余，不但能提高解题速度，而且还可以激发数学学习的兴趣，以下主要谈“拆分变式”在解题中的功能。 一、巧用拆分式　 例1.当X为何值时，分式　　取得最小值，并求此最小值。 分析：这是一道二次分式求最小值问题，直接求解无计可施，但若对原式进行拆分变形： 　　　　　　　　　　　　 易知，当X＝－1　时　　取得最大值2，故　　　　　　　　取得最小值4（求解过程略） 1．1若拆分变式　中的　 ，该拆分变式则为较常用的平均拆分，它也有着类似的功能。 1．2若拆分式　　中的a=b ,则　　　也为较重要的拆分变式，它在解题中同样有出奇制胜的效果。 以上两种特殊拆分变式的运用在此不举例说明，实际上我们在解题中常遇到这一类问题，若巧用以上拆分变式，对寻求问题的合理解法或减少计算量都很有帮助，同时可以提高我们解题的技能技巧。 二、巧用拆分式 例2.求证：…… 分析：通过观察，等式的左边各项本质一样，而且每一项的分子刚好等于该分母中两因式之差，于是找到解题途径。 证明：…… …… 该题巧在用拆分式　，中间项可相互抵消，刚好剩下首末两项的差。 推广1:…… 推广2:…… 推广3:…… 以上推广的证明类似于例2的证明过程，在此不给予证明。由此体现了数学的开放性思维在解题中的奥妙。 三、巧用拆分式 例3．设a1, a2,…… an∈R+ 且 a1, a2,……an＝1,求证:（2＋a1）（2＋a2）……（2＋an）≥3 n 分析：不等式的左边共有n 个式子，且形式相同，而其右边为3 n　，只要证其中之一 ≥，通过分析、观察不等式的结构特征。只须将2拆成1＋1，根据已知条件a1, a2,…… an＝1，于时（2＋a1）（2＋a2）…… （2＋an）≥＝3 n　，故原不等式巧妙获证（证明过程略） 推广：若m ∈N, ai ∈R+ ( i=1,2……n )且，则≥(m+1)n 证明： ai ∈R+ ( i=1,2……n )且 ∴≥ ∴i≥ 四、巧用拆分式 例4、设x0 y0 ，且x+y=1997　，求xy1996 的最大值。 解：∵≥ 又∵x+y=1997 ∴1997≥ 即≤ (当且仅当x=1,y=1996时，等号成立)　　从而当x=1,y=1996时，xy1996达到最大值且最大值评注：求解此题的关键是注意观察所求问题的特征，找出与项数有关的数字，把已知条件中的x+y 拆成 再运用重要不等式使解题快速巧妙。 例5．制造一个体积为V　的圆柱体的有盖罐头盘，怎样设计它的尺寸才最省材料？ 分析：如果含变量的项之积不是定值，根据表达式的特征，常将某一项拆成相等的几项，以便于其积为定值和取等号。 解：设盒子的全面积为S全，底面半径为R，高为h ，则V＝πR2h S全=2πR2+2πRh =2πR2+πRh+πRh≥ 当且仅当2πR2＝πRh　即h=2R　时，S全取得最小值 ∴当设计圆柱体的底面半径　，高　时最省材料。 五、巧用拆分式　（x≥0） 例6．化简 分析：本例用常规方法直接通分十分繁琐，注意到隐含条件1＋x≥0，1－x≥0，则用　 (a≥0)　　　　　 可得妙解。 解原式 将 两边平方可得它也有着类似的功能。 例7．如果边长为正方形铁皮，四角各剪去一个边长为x 的正方形，可以做成一个无盖的长方形容器，问x为多少时容器容积最大，最大为多少? 分析：为了运用重要不等式，于是要凑出和为定值，并且使等号成立，平均拆分表达式是解此题的关键。 解：设容器的容积为V，则依题意得 ≤ 当且仅当a-2x=4x 即　时，容器的容积最大且最大值为 说明：上述求解过程向我们展示了处理“和定积最大”或“积定和最小”一类最值问题的拆项处理模式：围绕均值不等式在使等号成立的条件下进行“拆分”。 六、巧用拆分式a=(a+b)-b 例8．设cos, sin 求：sin(α+β