212数列递推公式.doc

第2章 2.1 第2课时 数列的递推公式(选学) 一、选择题 1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋(n≥3)，则a5＝(　　) A.　　　　B.　　　　C．4　　　　D．5 [答案]　A [解析]　令n＝3,4,5，求a5即可． 2．已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝(　　) A．－3 B．－4 C．－5 D．2 [答案]　A [解析]　由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3， a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3. 3．正项数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4＝(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由递推关系可得a2＝，a3＝，a4＝. 4．已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2007＝(　　) A．x B．y C．y－x D．－x [答案]　C [解析]　根据递推关系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，这6个数值重复出现a2007＝a334×6＋3＝a3. 5．已知Sk表示数列的前k项和，且Sk＋Sk＋1＝ak＋1(k∈N*)，那么此数列是(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 [答案]　C [解析]　∵由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝Sk＋Sk＋1 ∴Sk＝0(k∈N*) 可知此数列每一项均为0，即an＝0是常数列． 6．观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是(　　) A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 [答案]　B [解析]　交点个数依次组成数列为1,3,6，即，，，由此猜想an＝， ∴a10＝＝45. 二、填空题 7．已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为________________． [答案]　，，，， [解析]　∵an＝3n－1(n∈N*) ∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2， ∴bn＝＝. ∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝. 8．已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)，则 (1)这个数列的第四项是________； (2)65是这个数列的第________项； (3)这个数列从第________项起以后各项都为正数． [答案]　－12；11；7 [解析]　(1)a4＝42－4×4－12＝－12. (2)令65＝n2－4n－12，∴n2－4n－77＝0， ∴n＝11或n＝－7(舍去)． 故65是这个数列的第11项． (3)令n2－4n－120，得n6或n2. ∴这个数列从第7项起以后各项都为正数． 三、解答题 9．在数列{an}中，已知a1＝1，且满足an＋1＝an＋，求通项公式． [解析]　由an＋1＝an＋，得an＋1＝an， 即＝.∴＝，＝，＝，…， ＝(n≥2)． 将以上各式相乘，得 ···…·＝···…· ∴＝，∴an＝(n≥2)， 又a1＝1满足上式． ∴an＝(n∈N*)． 10．设数列{an}的前n项的和为Sn，且方程x2－anx－an＝0，有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…，求a1、a2. [解析]　当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 当n＝2时，有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝. 能力提升 一、选择题 1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝(　　) A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn [答案]　A [解析]　解法一：取n＝2，则a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D； 取n＝3，则a3＝a2＋ln(1＋)＝2＋ln2＋ln＝2＋ln3，排除B，选A. 解法二：直接将选项依次代入验证． 当an＝2＋lnn时，an＋1＝an＋ln(1＋) ＝2＋lnn＋ln(1＋) ＝2＋ln(n＋1)满足，故选A. 解法三：∵an＋1＝an＋ln(1＋)， ∴a2－a1＝ln(1＋)＝ln2， a3－a2＝ln(1＋)＝ln， a4－a3＝ln(1＋)＝ln， … an－an－1＝ln(1＋)＝ln. 相加得：an－a1＝ln2＋ln＋…＋ln＝lnn，∵a1＝2，∴an＝2＋lnn. 2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝(　　) A．0 B．－ C. D. [答案]　B [解析]　∵a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，… 至此可知：数列{an}的各项的值依次为0，－，，0，－，，0，…，