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排列组合专题 排列组合求解策略 排列组合问题求解方法攻略 1、住店法：解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。 例1：4名同学报名参加数、理、化竞赛，每人限报一门，有多少种不同的报名结果？ 【变式训练1】 （1）4名同学争夺数、理、化竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （2）有五个班组织同学去峨眉、丽江、斯里兰卡去旅游，每个班限去一个旅游景点，有多少种不同的结果？ 2、特殊元素和特殊位置优先安排：有特殊要求的元素或位置可以优先安排，再考虑没有要求的元素或位置。 例2：（1）甲、乙等7位同学站成一排照相，要求甲不站两端，有多少种不同的站法？ （2）由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 【变式训练2】 （1）6名同学和3位老师站成一排照相留念，要求老师必须站中间，有多少种不同的站法？ （2）从0，1,2，3,4，5,6，7，8中任取4个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 3、相邻问题捆绑法:对于要求几个元素相邻的问题，先将要求相邻的元素看做一个大元素与其他元素参与全排列，再将这几个要求相邻的元素全排列。 例3：甲、乙等7名同学站成一排照相，要求甲乙必须相邻，有多少种不同的站法？ 【变式训练3】 （1）7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？ （2）9人排成一排，甲、乙之间必须间隔2人，有多少种不同的排法？ 4、不相邻问题插空法：要求几个元素不相邻的问题，先将无要求的元素全排列，再将要求不相邻的元素插入排好的空隙中。【注意：（1）两端的空隙是否符合题意；（2）是否不相邻。】 例4：（1）7人站成一排 ,其中甲乙丙不相邻, 共有多少种不同的排法？ （2）甲、乙等8人站成一排，其中甲乙不能相邻且不站两端，共有多少种不同的排法？ 【变式训练4】 （1）一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ （2）数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且1和2不相邻的5位数，这样的数有多少个？ （3）公路一侧有9盏路灯，为节约用电，需关掉其中3盏，要求两端的路灯不能关掉，也不能关掉任意相邻两盏，有多少种不同的关法？ 5、分排问题直排法:要求将元素分成几排的问题，直接看成一排全排列即可。 例5:8人站成一排，每排4人，有多少种不同的排法？ 【变式训练5】 （1）将10人排成两排，每排5人，有多少种不同的派法？ （2）8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法？ 6、环排问题线排策略：一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有。 例6：8人围桌而坐,共有多少种坐法? 【变式训练6】 （1）有6颗颜色不同的钻石，可穿成几种不同的钻石圈？ （2）某班组织活动，11个人手拉手围成一圈，有多少不同的围法？ 7、顺序固定用除法：几个元素顺序固定的问题，可以先将所有元素全排列，再除以顺序固定的这几个元素的一个全排列。 例7：甲、乙等7名同学站成一排，其中甲必须站在乙的左边，有多少种不同的站法？ 【变式训练7】 （1）7人排成一列,其中甲乙丙3人按从左到右的顺序排列，共有多少不同的排法？ 8、不同元素分组（平均分组、部分平均分组、非平均分组）：特别注意，平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。 例8：将6本不同的书按下列要求分成3堆，各有多少种不同的分法？ （1）每堆2本； （2）一堆4本，另外两堆各1本； （3）一堆1本，一堆2本，一堆3本。 【变式训练8】 （1）将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？ （2）将12个人按下列要求分成3组，各有多少种不同的分法？ ①每组4人； ②一组6人，另外两组各3人； ③一堆3人，一堆4人，一堆5人。 9、相同元素分组隔板法：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中（不算两端），所有分法数为。（注意此时没有顺序） 例9：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 【变式训练9】 （1）10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ （2）将23只相同的温